THÈSE de DOCTORAT de l'UNIVERSITÉ PARIS IX DAUPHINE



Spécialité :



MATHÉMATIQUES






présentée

par Olivier Cessenat

pour obtenir le grade de DOCTEUR de l'UNIVERSITÉ PARIS IX DAUPHINE

Sujet de la thèse :
APPLICATION D'UNE NOUVELLE FORMULATION VARIATIONNELLE AUX ÉQUATIONS D'ONDES HARMONIQUES.
PROBLÈMES DE HELMHOLTZ ${\bf 2D}$ ET DE MAXWELL ${\bf 3D}$.

soutenue le 13 Décembre 1996







devant le jury composé de :

M. A. De La Bourdonnaye	Rapporteur
M. J. C. Nédélec	Rapporteur
M. C. Bardos	Examinateur
M. D. Bouche	Examinateur
M. G. Chavent	Examinateur
M. B. Després	Examinateur
M. P. Joly	Examinateur
M. M. Lenoir	Examinateur

A Louis-Robert et Etienne Pelletier.

A Elie Etzer Ben Yehuda.

A mes parents.

I cannot forecast to you the action of Russia. It is a riddle wrapped in a mystery inside an enigma^0.01.

We shall not flag or fail. We shall fight in France, we shall fight on the seas and oceans, we shall fight with growing confidence and growing strength in the air, we shall defend our island, whatever the cost may be, we shall fight on the beaches, we shall fight on the landing grounds, we shall fight in the fields and in the streets, we shall fight in the hills; we shall never surrender^0.02.

Beware, for the time may be short. A shadow has fallen across the scenes so lately lighted by the Allied victory. Nobody knows what Soviet Russia and its Communist international organization intend to do in the immediate future. From Stettin in the Baltic to Trieste in the Adriatic an Iron Curtain has descended across the Continent^0.03.

Sir Winston Leonard Spencer Churchill.

Je remercie Mrs J.C. Nédelec et A. De La Bourdonnaye d'avoir accepté d'être rapporteurs. Messieurs C. Bardos, D. Bouche, G. Chavent et M. Lenoir d'avoir accepté de faire partie du jury.

Je remercie Pr. Patrick Joly de m'avoir pris comme l'un de ses étudiants. Patrick Joly m'a régulièrement suivi et a constamment amélioré la rigueur de mes démonstrations et la clarté de leur exposé. Je lui dois la clarification de beaucoup de notions mathématiques que je n'avais pas bien comprises. J'ai admiré sa capacité à rédiger de façon parfaite en une seule fois... et de me comprendre avant que j'ouvre la bouche. Je lui sais gré pour sa gentillesse, sa modestie, l'aide gracieuse qu'il nous a apportée à Bruno et moi pour l'écriture de l'article. Mieux qu'un long discours, il est plus simple de dire que je souhaite à tout le monde d'avoir Patrick comme professeur.

Je tiens à remercier tout particulièrement Bruno Després qui m'a encadré au sein du CEA et qui a été l'initiateur de cette thèse dont il a posé les fondements. Il a fait preuve d'une attention constante à mon égard durant toute la durée de cette thèse, ne se désintéressant jamais de ce que je faisais, en étant toujours disponible à n'importe quel moment alors qu'il était très occupé. Bruno a toujours été là dans les moments difficiles, m'aura toujours bien conseillé. J'insiste sur sa bonne humeur constante et sa gentillesse qui motivent mon admiration et ma reconnaissance sincères envers lui.

Je remercie Daniel Bouche qui, pendant mon service, m'a mis en contact avec feu le groupe électromagnétisme de Limeil, ainsi que ceux qui m'y ont accueilli: R. Le Martret (qui m'a conduit avec sa Ferrari de nombreuses fois), B. Scheurer, R. Sentis et D. Verwaerde. Je remercie ceux qui ont relu mes écrits pour le compte du service et du département, en particulier B. Scheurer, G. Meurant et D. Bouche.

Je tiens à remercier tous ceux qui m'ont aidé dont la liste est semi exhaustive: Christophe Le Potier (avec une gentillesse infinie), Roland Le Martret (avec une patience infinie), Guilhem Chevalier (Guilhem est un saint qui s'ignore), Pierre Bonnemason (notamment sur les logiciels SER, aussi pour son humour constant), Nicolas L'Hullier (mon spécialiste du C), Isabelle Bertron (ma spécialiste en tout), Emmanuelle Bonneaux (qui m'a relu un nombre infini de fois, initié à Psyche et beaucoup d'autres logiciels, bref mon envoyée spéciale nouveautés informatiques et ma correspondante permanente auprès de la langue française), Olivier Lafitte (pour ses nombreuses relectures), Jean François Clouet (pour son ouverture d'esprit), Christian Quine (pour sa bonne humeur), Bruno Bodin (pour notre conception commune de l'informatique), Julien Pascual (mon spécialiste du C-shell), Bruno Stupfel (pour son humour coriace), Michel Cessenat (pour son livre et ses conseils), Eric Sonnendrücker (mon spécialiste de latex), Eric Puertolas, Emmanuel Frénod (mon ami ennemi du mal), Françoise Angrand (pour son profil (NACA)), Pierre Henri Maire (pour ses nombreuses invitations à dîner et sa charcuterie de Luxeuil)... et Robert North, citoyen de sa majesté, pour sa revue shakespearienne de l'article.

Je remercie aussi tous les anonymes qui m'auront aidé sans le savoir ou sans que je le sache. Entre autres, les mécènes du free-ware, latex, maple, et les non mécènes fabricants de logiciels (gnuplot, ideas, islanddraw), de langages ou de machines, notamment la société CRAY R. Inc. Je remercie l'équipe ``Psyche'', Y. Demur pour Ideas.

Enfin, last but not least, mes parents dont le soutien moral et financier m'aura permis de commencer et de poursuivre cette thèse sans soucis. J'en profite pour, au nom de leurs quatre enfants, les remercier de nous avoir tous permis de faire des études, au sacrifice de leurs propres loisirs.

Abstract

A new technique to solve Elliptic Linear PDEs has been introduced in [27]. It is called Ultra Weak Variational Formulation. This work is devoted to an evaluation of the potentialities of this technique for solving waves problems, in particular the 2-dimensional Helmholtz and the 3-dimensional Maxwell problems. These two problems have wide industrial applications.

For Helmholtz, let us recall the applications to the mine prospection, the sub-marine navigation, the surveillance of structures in nuclear plants or in building, archeological research, more generally to any problem involving detection of cracks or cavities. Furthermore, the simplified scalar Helmholtz problem in a bounded two-dimensional non dissipative constant medium is of pedagogic interest. The study of this problem is presented in a first part following the same style of presentation as the classical one of the Finite Element Method, even though they are definitely conceptually different methods. The first chapter is committed to the variational formulation and to the continuous problem. The second chapter is to define the discretization process using a Galerkin procedure. The third chapter actually studies the efficiency of the technique from the order of convergence point of view. This is achieved using theoretical proofs and a series of numerical experiments. In particular, it is observed and proven that the order of convergence is lower bounded by a linear function of the number of degrees of freedom. Applications to scattering problems are presented in a fourth chapter. At last, an additional chapter presents the generalization of the variational formulation to the Helmholtz problem with varying coefficients.

The second part of this work deals with harmonic electromagnetic problems in a bounded three dimensional complex medium. Amidst many various fields of industrial applications, let us recall this problem interests communications problems, free in space or guided, and also radar detection problems of great military importance (playing a major role during the ``battle of Britain'') as well as air traffic control. This part, slightly less complete than the first one for its theoretical analysis of the method, shows a large variety of numerical tests and comparisons with classical methods. Nevertheless, the same logic is followed all along this part, underlining the new difficulties brought about by the three dimensional feature of the unknown and of the domain as well as by the new conditions that are the Gauss relations. An important non obvious result deals with the order of convergence of the method in free space with no volumic source of energy. It evolves as a square root of the number of degrees of freedom, which, when dealing with a three dimensional problem, is a good result.

Keywords: Variational formulation, ultra weak, Helmholtz, Maxwell, harmonic waves.

Résumé

Une nouvelle technique de résolution des Equations aux Dérivées Partielles Elliptiques Linéaires a été introduite dans [27]. Nous appellerons cette technique ``Formulation Variationnelle Ultra-Faible'' (UWVF). L'objet de ce travail est l'étude des potentialités de cette méthode pour les problèmes d'onde, en particulier, les problèmes de Helmholtz et de Maxwell. Ces deux problèmes ont de nombreuses applications industrielles.

Citons pour Helmholtz les problèmes de prospection minière, de navigation sous-marine, de contrôle des structures dans les centrales nucléaires ou pour le bâtiment, de recherche archéologique, de façon générale pour tous les problèmes de détection de fissures ou de cavités. De plus, le cas simplifié de Helmholtz scalaire dans un milieu borné bi-dimensionnel à caractéristiques constantes non dissipatives est intéressant pour ses vertus pédagogiques. Cette étude fait l'objet d'une première partie dont la présentation suit celle de la Méthode des Eléments Finis (FEM). En effet, si les deux méthodes sont conceptuellement différentes, elles sont proches dans la mise en uvre pratique. Le premier chapitre est dédié à l'étude du problème continu et de la formulation variationnelle. Le deuxième chapitre concerne la technique de discrétisation de type Galerkin. Le troisième chapitre étudie l'efficacité de la méthode du point de vue de l'ordre de convergence. Ceci est réalisé par des démonstrations mathématiques ainsi qu'une large série d'expériences numériques. En particulier, il est observé et prouvé que l'ordre de convergence est minoré par une loi linéaire en fonction du nombre de degrés de liberté. Des applications à des problèmes de diffraction sont présentées dans un quatrième chapitre. Enfin, un dernier chapitre généralise la formulation variationnelle au cas de coefficients variables.

La deuxième partie de ce travail étudie les problèmes harmoniques d'électromagnétisme en domaine borné dans des milieux aux caractéristiques scalaires complexes. Entre autres applications industrielles, citons les problèmes de communications, libres dans l'espace, ou canalisées par un guide d'onde, et les problèmes de détection radar aux nombreuses applications militaires (jouant un rôle majeur pendant ``la bataille d'Angleterre'') et pour l'aviation civile. Cette partie, légèrement moins complète que la première en ce qui concerne les analyses théoriques de la méthode, présente un grand nombre de simulations numériques et de comparaisons aux méthodes classiques. Néanmoins, l'analyse du problème suit la même démarche logique en présentant les difficultés supplémentaires induites par le caractère tridimensionnel des inconnues et du domaine ainsi que par les conditions supplémentaires que sont les relations de Gauss ou relations de divergence. Un résultat important non trivial concerne l'ordre de convergence de la méthode dans le vide pour un problème sans source volumique. L'ordre de la méthode évolue en racine carrée du nombre de degrés de liberté, ce qui, pour un problème tridimensionnel, constitue un bon résultat.

Mots-clefs: Formulation variationnelle, ultra-faible, Helmholtz, Maxwell, ondes harmoniques.