II.8 Discrétisation du problème de Maxwell.

Le chapitre précédent a introduit exactement le même formalisme que celui introduit partie I pour le problème de Helmholtz. La même procédure de discrétisation de Galerkin est employée. Nous introduisons un espace de dimension finie V_h inclus dans V. A l'aide des propositions 10 ((I-A) est injectif) et 11 ($\vert\vert A\vert\vert \leq 1$) nous montrons le théorème d'existence et d'unicité de la formulation discrète, équivalent pour Maxwell du théorème 5 p. de la partie I.

Théorème 16   Le problème

$$\null\,\vcenter{\openup\jot \let\\ =\@ \ialign{\strut\hfil$... ...h)_V = (b,{{\mathcal{Y}}}_h)_V \cr \crcr}}\, \right. \crcr}}\,$$ (II.8.1)

a une solution unique.

La procédure de discrétisation de Galerkin définit l'espace d'approximation $V_h \subset V$ par l'introduction d'un nombre fini I de fonctions de base ${{\mathcal{Z}}}_{i}$ où i est l'indice d'une numérotation J que nous construirons dans la section II.8.1.1. La formulation discrète (II.8.1) de (II.7.98) conduit au système matriciel (II.8.2), version discrète de (II.7.100), où l'on garde abusivement mais sans risque de confusion la notation b pour le second membre.

$$\left\{ \null\,\vcenter{\openup\jot \let\\ =\@ \ialign{\str... ...}}^{I} \mbox{ tel que } \cr & (D-C)X = b \cr \crcr}}\, \right.$$ (II.8.2)

La solution approchée ${{\mathcal{X}}}_h$ est entièrement définie par la donnée des I coefficients complexes ${{\mathcal{X}}}_{i}$ par

$${{\mathcal{X}}}_h = \sum_{i \in J} {{\mathcal{X}}}_{i} {{\mathcal{Z}}}_{i} \ .$$ (II.8.3)

Notons que la matrice D est la matrice du produit scalaire dans V_h (opérateur discret de I), la matrice C est la matrice de la forme bilinéaire $(\Pi {{\mathcal{Z}}}_{i},F{{\mathcal{Z}}}_{i^{'}})$ (opérateur discret de A).