III.D.1.3 Formules de l'intégrale sur un tétraèdre: calcul de I₃.

Nous calculons I₃ l'intégrale de (III.D.1) sur le tétraèdre [x₁,x₂,x₃,x₄] de volume V et de barycentre $\vec{G}$:

$$I_3 = \displaystyle \int _{[x_1,x_2,x_3,x_4]}{e^{i{{\mathbf k}}{{\mathbf X}}}} \ d \, {{\mathbf X}}\ .$$ (III.D.6)

On pose, pour $n-1=0 \ldots 3$ modulo 4

$$Z_n= e^{ i {{\mathbf k}}\vec{x}_n}$$

et

$$v_n= \frac{\displaystyle {{\mathbf k}}\vec{x}_n}{\displaystyle 2} \ .$$

On effectue le changement de variable affine

$$\vec{x}=\vec{x}_1+ \theta (\vec{x}_2-\vec{x}_1 )+ (1-\theta)... ...}_3-\vec{x}_1 )+ (1-\phi) \zeta (\vec{x}_4-\vec{x}_1 ) \right)$$

dans (III.D.6), ce qui donne

$$I_3 = 6V e^{i{{\mathbf k}}\vec{x}_1} \int_{[0,1]} (1-\theta)... ...\phi) \zeta (\vec{x}_4-\vec{x}_1 ) \right)} \,d \zeta \,d \phi$$

$$I_3 = 6V e^{i{{\mathbf k}}\vec{x}_1} \int_{[0,1]} (1-\theta)... ...e 2i(v_{3}-v_{1})}}{\displaystyle -2i(v_{1}-v_{4})} \,d \theta$$

$$I_3 = 6V Z_1 e^{2i (v_2-v_1 ) } \int_{[0,1]} (1-\theta) \fra... ...e 2i(v_{3}-v_{1})}}{\displaystyle -2i(v_{1}-v_{4})} \,d \theta$$

$$I_3 = 6V Z_1 e^{2i (v_2-v_1 ) } \frac{\displaystyle \frac{\d... ...laystyle 2i(v_{3}-v_{1})}}{\displaystyle -2i(v_{1}-v_{4})} \ .$$

Après simplification, on a

$$I_3 = 6V Z_2 \frac{\displaystyle \frac{\displaystyle e^{i (v... ...playstyle 2i(v_{3}-v_{1})}}{\displaystyle 2i(v_{4}-v_{1})} \ ,$$

ou

$$I_3 = 6V \frac{\displaystyle \frac{\displaystyle e^{i (v_{4}... ...playstyle 2i(v_{3}-v_{1})}}{\displaystyle 2i(v_{4}-v_{1})} \ .$$

En posant $\alpha_n = {{\mathbf k}}\frac{\displaystyle (\vec{x}_{n-1}-\vec{x}_n )}{\displaystyle 2}$, $\beta_n = {{\mathbf k}}\frac{\displaystyle (\vec{x}_{n+1}-\vec{x}_n )}{\displaystyle 2}$ et $\gamma_n = {{\mathbf k}}\frac{\displaystyle (\vec{x}_{n+2}-\vec{x}_n )}{\displaystyle 2}$, pour tout n-1 de 0 à 3 modulo 4, on a

$$I_3 = 6V Z_2 {\frac{\displaystyle I(\gamma_2 , \beta_2)-I(\beta_2 , \alpha_2) }{\displaystyle 2i(\gamma_2-\alpha_2)} }$$

avec

$$I(\lambda , \mu) = {\frac{\displaystyle e^{i\lambda} {\frac{... ...u}}{\displaystyle \mu}} }{\displaystyle 2i(\lambda-\mu)} } \ .$$ (III.D.7)

Finalement, par symétrie, l'intégrale I₃ apparaît comme la fonction de $\alpha_n$, $\beta_n$ et $\gamma_n$ suivante

$$I_3(\alpha_n,\beta_n,\gamma_n) = 6V e^{i{{\mathbf k}}\vec{G}... ...eta_n , \alpha_n) }{\displaystyle 2i(\gamma_n-\alpha_n)} } \ ,$$ (III.D.8)

fonction que l'on sait continue en $(\alpha_n,\beta_n,\gamma_n) \in {\mathbb{C}}^3$.