II.8.2 Un choix particulier de l'espace V_h.

Nous particularisons la construction générale de la formulation variationnelle ultra-faible proposée section II.8.1. Nous construisons l'espace V_h à l'aide d'ondes planes. Cette idée est naturelle, puisque ce type de fonctions a déjà été testé lors de l'étude du problème de Helmholtz. La difficulté du choix d'ondes planes réside dans la nature tridimensionnelle du problème. Une onde plane <I>E(<I>X) est donc définie par deux vecteurs, la polarisation <I>E₀ et la direction de propagation <I>k₀ telles que

$${{\mathbf E}}({{\mathbf X}}) = {{\mathbf E}}_0 e^{i\omega ({{\mathbf k}_0}\, . \, {{\mathbf X}})}$$

où les relations de Gauss imposent

$$({{\mathbf k}_0}\, . \, {{\mathbf E}}_0) = 0 \ .$$

Une idée naturelle serait de considérer, pour une direction de propagation donnée, deux ondes planes aux polarisations réelles, orthogonales entre elles et orthogonales à la direction de propagation de façon à vérifier la condition de divergence.

L'étude du découplage des équations de Maxwell (section II.7.1.3) nous a suggéré d'utiliser, pour une direction de propagation donnée, deux polarisations complexes conjuguées combinaisons de <I>E₀ et de ${{\mathbf E}}_0 \wedge {{\mathbf k}_0}$.

Nous verrons qu'un tel choix permet une réduction appréciable de la place mémoire nécessaire lors de l'implémentation informatique.