I.3.2.5 Bilan: lois approchées de convergence numérique.

D'après les figures (I.3.4), (I.3.5), (I.3.6) et (I.3.7), il semble que nous pouvons dégager des lois d'ordre de convergence. Nous séparons ces lois en deux cas, le cas f=0 et le cas $f\ne 0$. Pour chacune des normes étudiées, on aura donc deux lois, une pour le problème homogène et une autre pour le problème non homogène.

1. Les normes $\frac{\displaystyle \vert\vert x-x_h\vert\vert _{V}}{\displaystyle \vert\vert x\vert\vert _{V}}$ et $\frac{\displaystyle \vert\vert x-x_h\vert\vert _{L^2(\Gamma)}}{\displaystyle \vert\vert x\vert\vert _{L^2(\Gamma)}}$ suivent les lois du tableau I.3.5.
2. La norme $\frac{\displaystyle \vert\vert u-u_h\vert\vert _{L^2(\Gamma)}}{\displaystyle \vert\vert u\vert\vert _{L^2(\Gamma)}}$ suit la loi du tableau I.3.5 lorsque la méthode de calcul utilise la formule d'approximation générale (I.2.23).
3. Les normes $\frac{\displaystyle \vert\vert u-u_h\vert\vert _{L^2(\Omega)}}{\displaystyle \vert\vert u\vert\vert _{L^2(\Omega)}}$ et $\frac{\displaystyle \vert\vert u-u_h\vert\vert _{L^2(\Gamma)}}{\displaystyle \vert\vert u\vert\vert _{L^2(\Gamma)}}$ suivent les lois du tableau I.3.6, à l'aide de la formule d'approximation (I.2.27) qui ne devrait être utilisée que dans le cas homogène.

Tableau I.3.5: Bilan: ordres de convergence en fonction de p

p nb. de f.b. par élt

3 4

5 6

7 8

9 10

11 12

13 14

cas	Non homogène
	Homogène

1.5

1.5

2

2.5

2.5

3.5

3

4.5

3.5

5.5

4

?

Tableau I.3.6: Bilan: ordres de convergence en fonction de p

p nb. de f.b. par élt

3 4

5 6

7 8

9 10

11 12

13 14

cas	Non homogène
	Homogène

1

2

1

3

1

4

1

5

1

6

1

?

Remarque 18   On observe une croissance linéaire de l'ordre de convergence en fonction du nombre de fonctions de base p par élément. En première approximation, la pente de la loi de convergence du problème non homogène est deux fois plus faible que celle du problème homogène.

Remarque 19   Nous avons des résultats numériques plus complets dans l'étude du problème non homogène que dans celle du problème homogène (d'où les points d'interrogation dans les tableaux I.3.5 et I.3.6). En effet, alors que le conditionnement ne dépend pas du second membre f du problème (I.0.1), l'ordre de convergence du problème non homogène augmente à un taux plus faible que celui du problème homogène, d'environ la moitié. La perte de précision numérique due au conditionnement importe plus dans un calcul très précis (ce qui est le cas du problème homogène) que dans un calcul moins précis ((ce qui est le cas du problème non homogène). Ces constatations sont expliquées théoriquement sections I.3.3.5 et I.3.4 avec les corollaires 4 et 5 et le théorème 8.

Remarque 20   Il peut être utile de relire la remarque 18 pour comprendre les différences entre le cas non homogène du tableau I.3.5 et du tableau I.3.6. Ces deux tableaux donnent l'ordre de convergence de la trace de u sur $\Gamma$. Dans le cas homogène, on obtient une amélioration d'environ 1/2 de la norme de u sur $\Gamma$ par les formules (I.2.27) à la place de l'approximation (I.2.23).