II.9.2.1 Une estimation énergétique d'erreur au bord.

Nous étudions ici la norme du résidu $\vert\vert{{\mathcal{X}}}-{{\mathcal{X}}}_h\vert\vert _{L^2(\Gamma)}$ par rapport à l'erreur d'interpolation $\vert\vert(I-P_h){{\mathcal{X}}}\vert\vert$ . La preuve est copiée sur celle du lemme 9, la différence étant que l'on n'utilise pas que F est une isométrie mais une application de norme inférieure à 1.

Lemme 27 Supposons que ${{\mathit Q}}$ l'opérateur de bord du problème de Maxwell est constant et $\vert{{\mathit Q}}\vert \leq \delta < 1$ . Considérons ${{\mathcal{X}}}\in V$ la solution de (II.7.84) et ${{\mathcal{X}}}_h \in V_h$ la solution de (II.8.1). Soit P_h le projecteur orthogonal sur l'espace V_h. Nous avons (II.9.67).

(II.9.53)

$\begin{displaymath} \mbox{\fbox{$\vert\vert{{\mathcal{X}}}-{{\mathcal{X}}}_h\ver... ...-\delta^2}} \vert\vert(I-P_h){{\mathcal{X}}}\vert\vert _V $}} \end{displaymath}$

$\begin{proof} % latex2html id marker 30340Posons $ \eta_h = ({{\mathcal{X}}}-{... ...2}\vert\vert \eta_h \vert\vert _{\Gamma} \ . \crcr}}\, \end{equation}\end{proof}$

Notons que le lemme 27 qui relie l'erreur sur la quantité ${{\mathcal{X}}}$ sur le bord à l'erreur d'interpolation demande que ${{\mathit Q}}$ soit strictement inférieur à 1. Cette hypothèse est demandée par la démonstration qui effectue un raisonnement uniforme sur tout le bord. Il est possible de raffiner ce raisonnement et d'obtenir un même type de majoration avec des hypothèses moins restrictives sur ${{\mathit Q}}$ . Par exemple, sous les mêmes hypothèse que celles du lemme 27 mais avec ${{\mathit Q}}=1$ sur $\Gamma_1$ et ${{\mathit Q}}=0$ sur $\Gamma_2$ où $\Gamma_1$ et $\Gamma_2$ sont deux parties non vides de $\Gamma$ , on aura une estimation d'erreur sur le bord $\Gamma_2$ .

(II.9.54)

$\begin{displaymath} \mbox{\fbox{$\vert\vert{{\mathcal{X}}}-{{\mathcal{X}}}_h\ver... ...ma_2)} \leq \vert\vert(I-P_h){{\mathcal{X}}}\vert\vert _V $}} \end{displaymath}$