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I.5.2.2 Définition et construction de uh à partir de xh.

Nous décrivons comment définir et calculer une approximation de u (la solution du problème de Helmholtz), notée uh à partir de xh solution de (I.5.36). Il y a deux techniques indépendantes d'approximation de u:

i) Reconstruction de uh sur $\partial \Omega_k$.

Comme dans le cas sans coefficient, on montre aisément que la trace de u sur V est liée à x par

(I.5.20) \begin{displaymath}
\left\{
\null\,\vcenter{\openup\jot \let\\ =\@
\ialign{\str...
...I+\Pi)x+g] & \mbox{ sur } \Gamma_{k} \ , \cr
\crcr}}\,
\right.
\end{displaymath}

et l'on définit uh sur les arêtes du maillage par
(I.5.21) \begin{displaymath}
\left\{
\null\,\vcenter{\openup\jot \let\\ =\@
\ialign{\str...
...I+\Pi)x_h+g] & \mbox{ sur } \Gamma_k \ . \cr
\crcr}}\,
\right.
\end{displaymath}

Pratiquement, l'équation (I.5.41) signifie que:
  1. nous construisons uh sur $\Gamma$ par
    (I.5.22) \begin{displaymath}
2i\omega \sigma(u_h)_{\vert\Gamma_k} = g+(1+{{\mathit Q}}_k)...
...hop{{\mathbf {\nabla }}}\nolimits +i\omega \sigma )e_{kl}} \ ,
\end{displaymath}

  2. et nous construisons uh sur $\Sigma_{kj}$ par
    (I.5.23) \begin{displaymath}
2i\omega \sigma(u_h)_{\vert\Sigma_{kj}} = \sum_{l(k)}{x_{kl}...
...hop{{\mathbf {\nabla }}}\nolimits +i\omega \sigma )e_{jl}} \ .
\end{displaymath}

ii) Reconstruction de uh dans $\Omega $.

Comme pour le problème de Helmholtz sans coefficient, lorsque f=0 et $ \mu $ et $\rho$ réels, nous pouvons reconstruire uh par

(I.5.24) \begin{displaymath}
\null\,\vcenter{\openup\jot \let\\ =\@
\ialign{\strut\hfil$...
...\Omega_k} = \sum_{l=1}^{p}{x_{kl} \, e_{kl}} \ . \cr
\crcr}}\,
\end{displaymath}

En effet, dans ce cas, l'opérateur de relèvement, E, est linéaire.


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Cessenat Olivier 2007-04-21