I.1.2.1 La formulation variationnelle.

Le théorème 3 spécifie l'équivalence entre le problème originel et notre formulation dont les inconnues sont définies sur les arêtes $\partial \Omega_k$. Cette méthode apparaît comme une nouvelle formulation variationnelle (I.1.25) puis (I.1.27) par le théorème 4. Les propriétés du système (I.1.27) sont résumées par les propositions 6 et 7.

Théorème 3   Soit $u \in H^1(\Omega)$ une solution du problème de Helmholtz (I.0.1) vérifiant l'hypothèse de régularité $\partial_{\nu_k}u \in L^2(\partial \Omega_k)$ pour tout k. Alors x défini par $x_{\vert\partial \Omega_k}=x_k$ avec $x_k=((-\partial_{\nu_k} +i\omega )u_{\vert\Omega_k})_{\vert\partial \Omega_k}$ vérifie:

$$\null\,\vcenter{\openup\jot \let\\ =\@ \ialign{\strut\hfil$... ...overline{(\partial_{\nu_k} +i\omega )e_k} }} \ . \cr \crcr}}\,$$ (I.1.7)

pour tout

$$\displaystyle e \in H, \ e=(e_k)_{k=1 \ldots K}, \ H=\prod_{k=1}^{K} H_k$$ (I.1.8)

avec

$$H_k= \left\{ v_k \in H^{1}(\Omega_k) \left\vert \null\,\vce... ... \in L^2(\partial \Omega_k) \cr \crcr}}\, \right. \right\} \ .$$ (I.1.9)

Réciproquement, si x est solution de (I.1.8) alors la fonction u définie par

$$\left\vert \null\,\vcenter{\openup\jot \let\\ =\@ \ialign{\... ...(-\partial_{\nu} +i\omega)u_k = x_k \ . \cr \crcr}}\, \right.$$ (I.1.10)

est la solution unique du problème de Helmholtz dans $\Omega$ (I.0.1).

Le théorème 4 résume la formulation (I.1.8) du théorème 3 après introduction des opérateurs E, F, $\Pi$ et A.

Définition 1   Soient les applications de relèvement E et E_f

$$E_f = \left\{ \null\,\vcenter{\openup1\jot \let\\ =\@ \ial... ...\mapsto e = (e_k), \ e_k=e_{\vert\Omega_k} \crcr}}\, \right.$$ (I.1.11)

où e_k est l'unique solution de

$$\left \{ \null\,\vcenter{\openup\jot \let\\ =\@ \ialign{\s... ...ert\Omega_k} & \mbox{ dans } \Omega_k \ , \crcr}}\, \right.$$

et

$$E = E_0 \ .$$ (I.1.12)

Remarque 2   L'application E est un opérateur linéaire alors que E_f pour $f\ne 0$ est un opérateur affine.

Définition 2   Soit l'opérateur $F \in {\cal L}(V)$ défini par:

$$\null\,\vcenter{\openup1\jot \let\\ =\@ \ialign{\strut\hfi... ...{\vert\partial \Omega_k})_k \ . \crcr}}\, \right. \crcr}}\,$$ (I.1.13)

liant la trace sortante $(-\partial_{\nu_k}+i\omega)e_k$ à la trace entrante $(\partial_{\nu_k}+i\omega)e_k$.

Remarque 3   Ces définitions ont un sens d'après le théorème 1. Ceci implique que $(E(z)_{\vert\Omega_k})_{\vert\partial \Omega_k}$ existe et est unique dans H. De $Fz=-z+2i\omega(E(z)_{\vert\Omega_k})_{\vert\partial \Omega_k}$, on obtient $Fz \in \prod_{k}(L^{2}(\partial \Omega_k)) = V$. Remarquons que

$$% \displaystyle{ \prod_{k=1}^{K} H_k } \mbox{ est isomorphe {... ...k)_{\vert\partial \Omega_k} , v_k \in H_k, k=1 \ldots K \} \ .$$ (I.1.14)

Définition 3   Soit ${{\mathit Q}}$ une fonction définie sur le bord $\Gamma$ à valeur complexe vérifiant $\vert{{\mathit Q}}\vert \leq 1$. Nous définissons l'opérateur linéaire $\Pi$ par:

$$\Pi \in {\cal L}(V) \left \{ \null\,\vcenter{\openup\jot \... ...mathit Q}}z _{\vert _{\Gamma_k}} \ \ . \cr \crcr}}\, \right.$$ (I.1.15)

Lemme 1   L'opérateur linéaire $\Pi$ ci-dessus vérifie évidemment $\vert\vert\Pi\vert\vert _V \leq 1$ pour $\vert{{\mathit Q}}\vert \leq 1$ sur $\Gamma$.

Définition 4   Soit $F^* \in {\cal L}(V)$ (V est identifié à son espace dual) l'adjoint de F. Soit $A \in {\cal L}(V)$ défini par

$$A = F^* \Pi \ .$$ (I.1.16)

Dans l'équation (I.1.8) nous reconnaissons dans le premier terme intégral le produit scalaire dans V, dans le second terme nous reconnaissons à gauche l'opérateur $\Pi$ appliqué à x, à droite l'opérateur F appliqué à la fonction de base y. Nous sommes donc en mesure de formuler le théorème d'existence et d'unicité de la formulation variationnelle ultra-faible sous l'hypothèse de régularité $x \in V$:

Théorème 4  

a)

Le problème (I.1.8) est équivalent à

$$\left\{ \null\,\vcenter{\openup\jot \let\\ =\@ \ialign{\str... ...=Ey \cr & (x,y)_V-(\Pi x,Fy)_V = (b,y)_V \cr \crcr}}\, \right.$$ (I.1.17)

où le second membre $b \in V$ est défini, via le théorème de représentation de Riesz, par:

$$\null\,\vcenter{\openup\jot \let\\ =\@ \ialign{\strut\hfil$... ...\Gamma_k}{g \, \overline{F(y)}_{\Gamma_k} }} \ . \cr \crcr}}\,$$ (I.1.18)

b)

Si u est solution du problème de Helmholtz (I.0.1) vérifiant l'hypothèse de régularité (I.0.9), alors $x=(-\partial_{\nu_k} + i \omega )u$ est solution dans V de (I.1.25).

c)

Réciproquement, si x est solution de (I.1.25) alors u=E_f(x) est l'unique solution de (I.0.1). Le problème (I.1.25) est équivalent à:

$$\left\{ \null\,\vcenter{\openup\jot \let\\ =\@ \ialign{\str... ...uver } x \in V \cr & \fbox{$(I-A)x = b$} \cr \crcr}}\, \right.$$ (I.1.19)