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I.3.4 Conditionnement de la matrice de produit scalaire.

Nous définissons le conditionnement K(D) de la matrice de produit scalaire D comme le rapport de la plus grande valeur propre $\lambda_{\max}(D)$ et de la plus petite $\lambda_{\min}(D)$. Le conditionnement dépend des paramètres p, le nombre de fonctions de base par élément du maillage, et h, le pas du maillage. Nous allons montrer (théorème 8) qu'il existe une constante C indépendante de p et h telle que l'on peut minorer le conditionnement par

(I.3.22) \begin{displaymath}%
K(D) \ge C h^{-q(p)}
\end{displaymath}

q(p), que l'on appellera l'ordre du conditionnement, est une fonction uniquement de p. Nous nous sommes intéressés au conditionnement des sous-matrices blocs Dk de la matrice D du système linéaire car l'algorithme de résolution (section I.2.3) exige l'inversion de ces matrices. Rappelons que nous avons utilisé une méthode de Cholesky, sensible aux problèmes de conditionnement. Lors de l'étude numérique de l'ordre de convergence de la méthode, nous avons rencontré ce type de problème lorsque la discrétisation effectuée était trop raffinée. Nous présentons ensuite quelques résultats numériques pour lesquels l'évolution du conditionnement semble bien suivre la loi théorique de la minoration q(p) = 2[p/2]-2.



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Cessenat Olivier 2007-04-21