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II.7.2.5 Forme synthétique.

Dans l'équation (II.7.84) nous reconnaissons dans le premier terme intégral le produit scalaire dans V, dans le second terme nous reconnaissons à gauche l'opérateur $\Pi$ appliqué à ${{\mathcal{X}}}$, à droite l'opérateur F appliqué à la fonction de base ${{\mathcal{Y}}}$. Nous sommes donc en mesure d'énoncer le théorème 15.

Théorème 15 (Equivalence des formulations variationnelles classique et ultra-faible)  
a)
Le problème (II.7.84) est équivalent à
(II.7.67) \begin{displaymath}
\left\{
\null\,\vcenter{\openup\jot \let\\ =\@
\ialign{\str...
...\mathcal{Y}}})_V = (b,{{\mathcal{Y}}})_V \cr
\crcr}}\,
\right.
\end{displaymath}

où le second membre $b \in V$ est défini, via le théorème de représentation de Riesz, par:
(II.7.68) \begin{displaymath}
\null\,\vcenter{\openup\jot \let\\ =\@
\ialign{\strut\hfil$...
...{k} \wedge \nu_{k}) \wedge \nu_{k})} \right) \ . \cr
\crcr}}\,
\end{displaymath}

b)
Si (<I>E,<I>H) est solution de (1 p. [*]) assez régulière (dans ${{\mathcal{D}}}(\Omega,K)$ (Définition 8)) alors ${{\mathcal{X}}}=({{\mathcal{X}}}_{k,j})_{k=1 \ldots K,j=j(k)}$ avec ${{\mathcal{X}}}_{k,j}={{\mathcal{X}}}_{\vert\Sigma_{k,j}} = \sqrt{\varepsilon _...
...e \nu_{k}) + \sqrt{\mu_{kj}}(({{\mathbf H}}_{k} \wedge \nu_{k}) \wedge \nu_{k})$ est solution de (II.7.98).
c)
Réciproquement, si ${{\mathcal{X}}}$ est solution de (II.7.98) alors $({{\mathbf E}},{{\mathbf H}})=E_{{{\mathbf j}},{{\mathbf m}}}({{\mathcal{X}}})$ est l'unique solution de (1 p. [*]). Le problème (II.7.98) est équivalent à:
(II.7.69) \begin{displaymath}
% latex2html id marker 26535
\left\{
\null\,\vcenter{\open...
... \cr
& \fbox{$(I-A) {{\mathcal{X}}}= b$} \cr
\crcr}}\,
\right.
\end{displaymath}


\begin{proof}
% latex2html id marker 26543Soit ${{\mathcal{X}}}=\sqrt{\varepsi...
...e}fini sur $V$),
on peut affirmer (\ref{equation.m3dformcnota.017}).
\end{proof}


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Cessenat Olivier 2007-04-21