II.7.2.5 Forme synthétique.

Dans l'équation (II.7.84) nous reconnaissons dans le premier terme intégral le produit scalaire dans V, dans le second terme nous reconnaissons à gauche l'opérateur $\Pi$ appliqué à ${{\mathcal{X}}}$, à droite l'opérateur F appliqué à la fonction de base ${{\mathcal{Y}}}$. Nous sommes donc en mesure d'énoncer le théorème 15.

Théorème 15 (Equivalence des formulations variationnelles classique et ultra-faible)  

a)

Le problème (II.7.84) est équivalent à

$$\left\{ \null\,\vcenter{\openup\jot \let\\ =\@ \ialign{\str... ...\mathcal{Y}}})_V = (b,{{\mathcal{Y}}})_V \cr \crcr}}\, \right.$$ (II.7.67)

où le second membre $b \in V$ est défini, via le théorème de représentation de Riesz, par:

$$\null\,\vcenter{\openup\jot \let\\ =\@ \ialign{\strut\hfil$... ...{k} \wedge \nu_{k}) \wedge \nu_{k})} \right) \ . \cr \crcr}}\,$$ (II.7.68)

b)

Si (<I>E,<I>H) est solution de (1 p. ) assez régulière (dans ${{\mathcal{D}}}(\Omega,K)$ (Définition 8)) alors ${{\mathcal{X}}}=({{\mathcal{X}}}_{k,j})_{k=1 \ldots K,j=j(k)}$ avec ${{\mathcal{X}}}_{k,j}={{\mathcal{X}}}_{\vert\Sigma_{k,j}} = \sqrt{\varepsilon _... ...e \nu_{k}) + \sqrt{\mu_{kj}}(({{\mathbf H}}_{k} \wedge \nu_{k}) \wedge \nu_{k})$ est solution de (II.7.98).

c)

Réciproquement, si ${{\mathcal{X}}}$ est solution de (II.7.98) alors $({{\mathbf E}},{{\mathbf H}})=E_{{{\mathbf j}},{{\mathbf m}}}({{\mathcal{X}}})$ est l'unique solution de (1 p. ). Le problème (II.7.98) est équivalent à:

$$% latex2html id marker 26535 \left\{ \null\,\vcenter{\open... ... \cr & \fbox{$(I-A) {{\mathcal{X}}}= b$} \cr \crcr}}\, \right.$$ (II.7.69)