III.B.3 Calcul d'erreur pour le code Maxwell tridimensionnel.

Le but de cette section est de montrer que le calcul d'erreur dans le cas où la solution exacte est une onde plane présente la même difficulté qu'un assemblage de matrice.

Nous présentons ici le calcul de la norme d'erreur de bord

$$\vert\vert({{\mathcal{X}}}_h -{{\mathcal{X}}}) \vert\vert _{L^2(\Gamma=\partial \Omega)}$$

dans le cas où la quantité exacte ${{\mathcal{X}}}$ est connue sous la forme

$${{\mathcal{X}}}= + {{\mathbf E}}_0 \wedge \nu_k + \left( {{\mathbf H}}_0 \wedge \nu_k \right) \wedge \nu_k \ .$$

La quantité approchée est calculée par

$${{\mathcal{X}}}_h = \sum_{l=1}^{p} {{\mathcal{X}}}_{k,l}^{{{... ...k,l}^{{{\mathbf G}}} {{\mathcal{Z}}}_{k,l}^{{{\mathbf G}}} \ .$$

On calcule donc la norme de l'erreur par

$$\vert\vert{{\mathcal{X}}}_h -{{\mathcal{X}}}\vert\vert _{L^2... ...e{\left( {{\mathcal{X}}}_h \overline{{{\mathcal{X}}}} \right)}$$

On pose

$$T_1^k = \int_{\Sigma_{k,k}} \vert\sum_{l=1}^{p} {{\mathcal{X... ...}^{{{\mathbf G}}} {{\mathcal{Z}}}_{k,l}^{{{\mathbf G}}}\vert^2$$

$$T_2^k = \Re \int_{\Sigma_{k,k}} \sum_{l=1}^{p} \left( {{\mat... ...l{Z}}}_{k,l}^{{{\mathbf G}}}\right) \overline{{{\mathcal{X}}}}$$

$$T_3^k = \int_{\Sigma_{k,k}} \vert{{\mathcal{X}}}\vert^2$$

Calcul de T₁^k. Dans le vide, on calcule que

$$\null\,\vcenter{\openup\jot \let\\ =\@ \ialign{\strut\hfil$\... ...\overline{{{\mathcal{X}}}_{k,l}^{{{\mathbf G}}}} \cr \crcr}}\,$$

Calcul de T₂^k. On remarque que ce terme est calculé de la même façon que le second membre du couplage des fonctions de base avec la fonction de bord g. On note abusivement, (puisque ${{\mathcal{X}}}$ n'est pas égal à g, la condition sur le bord extérieur d'un calcul de diffraction en champ total)

$$b_{k}^{l} = \int_{\Sigma_{k,k}} {{\mathcal{X}}}\overline{{{\mathcal{Z}}}_{k,l}} \ ,$$

et l'on a

$$\null\,\vcenter{\openup\jot \let\\ =\@ \ialign{\strut\hfil$\... ...^{{{\mathbf G}}} (b_{k}^{l})_{{{\mathbf G}}} \ . \cr \crcr}}\,$$