I.2.1.5 Lien avec le problème initial: construction de u_h à partir de x_h.

Nous décrivons comment définir et calculer une approximation de u (la solution du problème de Helmholtz), notée u_h à partir de x_h solution de (I.2.1). Il y a deux techniques indépendantes d'approximation de u.

i) Reconstruction de u_h sur $\partial \Omega_k$

En utilisant $u_{\vert\Sigma_{kj}}=u_{\vert\Sigma_{jk}}$ et $+\partial_{\nu_j}u_{\vert\Sigma_{jk}}=-\partial_{\nu_k}u_{\vert\Sigma_{kj}}$, nous avons sur $\Sigma_{kj}$:

$$\null\,\vcenter{\openup\jot \let\\ =\@ \ialign{\strut\hfil$... ...ga )u_{\vert\Sigma_{kj}} \cr & = 2i\omega u \ . \cr \crcr}}\,$$

En utilisant $(\partial_{\nu_k} +i\omega )u_{\vert\Gamma_{k}}= {{\mathit Q}}(-\partial_{\nu_k} +i\omega )u_{\vert\Gamma_{k}}+g$, nous avons sur $\Gamma_{k}$:

$$\null\,\vcenter{\openup\jot \let\\ =\@ \ialign{\strut\hfil$... ...ega )u_{\vert\Gamma_{k}} \cr & = 2i\omega u \ . \cr \crcr}}\,$$

Ainsi, la trace de u sur V est liée à x par

$$\left\{ \null\,\vcenter{\openup\jot \let\\ =\@ \ialign{\str... ...I+\Pi)x+g] & \mbox{ sur } \Gamma_{k} \ . \cr \crcr}}\, \right.$$ (I.2.15)

Il est donc naturel de définir u_h sur les arêtes du maillage par

$$\left\{ \null\,\vcenter{\openup\jot \let\\ =\@ \ialign{\str... ...I+\Pi)x_h+g] & \mbox{ sur } \Gamma_k \ . \cr \crcr}}\, \right.$$ (I.2.16)

Pratiquement, l'équation (I.2.23) signifie que u_h est calculé

1. sur $\Gamma_k$ par
   

   $$2i\omega(u_h)_{\vert\Gamma_k} = g+(1+{{\mathit Q}}_k) \sum_{l}{x_{kl}(-\partial_{\nu_k} +i\omega )e_{kl}}$$ (I.2.17)

   
   

2. et sur $\Sigma_{kj}$ par
   

   $$2i\omega(u_h)_{\vert\Sigma_{kj}} = \sum_{l(k)}{x_{kl}(-\part... ... + \sum_{l(j)}{x_{jl}(-\partial_{\nu_j} +i\omega )e_{jl}} \ .$$ (I.2.18)

   
   

ii) Reconstruction de u_h dans $\Omega$.

Nous savons qu'il est théoriquement possible d'inverser l'opérateur E_f (I.1.19) sur chacune de ses restrictions à $\Omega _k$ pour tous les éléments du maillage. En pratique, le fait d'inverser

$$\left\{ \null\,\vcenter{\openup\jot \let\\ =\@ \ialign{\str... ...x & \mbox{ sur } & \partial \Omega_k \ , \cr \crcr}}\, \right.$$

ou sous la forme discrète

$$\left\{ \null\,\vcenter{\openup\jot \let\\ =\@ \ialign{\str... ...h & \mbox{ sur } & \partial \Omega_k \ . \cr \crcr}}\, \right.$$ (I.2.19)

est a priori équivalent à résoudre le problème de Helmholtz originel. Néanmoins, il peut être intéressant de résoudre beaucoup de problèmes dans des domaines restreints plutôt qu'un seul dans un grand domaine. Ceci est l'idée initiale des techniques de décomposition de domaine [24]. Dans le cas particulier où f=0 sur $\Omega _k$, l'équation (I.2.26) est simple à résoudre: la linéarité de l'opérateur de relèvement E (I.1.20) implique que

$$\null\,\vcenter{\openup\jot \let\\ =\@ \ialign{\strut\hfil$... ...\Omega_k} = \sum_{l=1}^{p}{x_{kl} \, e_{kl}} \ . \cr \crcr}}\,$$ (I.2.20)

est solution du problème (I.2.26) dans tout $\Omega _k$. Attirons l'attention du lecteur sur le fait que la formule (I.2.27) peut être utilisée sur les arêtes du maillage à la place de (I.2.24) et (I.2.25) si nécessaire.

Remarque 5   Dans le cas d'un problème où f n'est pas identiquement nulle sur l'élément $\Omega _k$ il est toujours possible de résoudre (I.2.26) en utilisant d'autres méthodes, comme la méthode des Eléments Finis (FEM), ou d'utiliser à nouveau la méthode ultra-faible sur les sous-domaines $\Omega _k$. La formulation ultra-faible est donc adaptée à la fois aux méthodes de décomposition de domaine et aux méthodes multi-grilles.

Remarque 6   Sur le plan pratique, les logiciels de représentation graphique requièrent habituellement les valeurs aux nuds du maillage. Ceci se fait par la formule (I.2.23). Une autre possibilité consiste à continuer à utiliser la formule (I.2.27) qui est aussi une approximation linéaire de u sur $\Omega _k$ connaissant u sur $\partial \Omega_k$. Dans les deux cas, nous approchons la solution à l'ordre 1.