I.3.2.2 Une simulation informatique de calcul d'erreur.

La figure I.3.3 indique la valeur de l'erreur relative sur u en norme $L^2(\Omega)$ en fonction de 1/h pour différents nombres de fonctions de base p par élément. Rappelons que h est le raffinement du maillage que l'on définit par:

$$h = \sqrt{\frac{\displaystyle \mbox{Surface de }\Omega}{\dis... ...box{Nombre total d'{\'e}l{\'e}ments de la triangulation}}} \ .$$ (I.3.5)

Les paramètres du cas sont dans le tableau I.3.3. La procédure adoptée pour calculer l'ordre de convergence consiste à mesurer la pente négative maximale des courbes (en échelle logarithmique). On constate que le faisceau de courbes de la figure I.3.3 est composé de droites approximativement parallèles pour p impair et pour p+1, droites de pentes négatives dont la valeur absolue augmente avec la valeur de p.

Remarque 14   Nous devons éliminer les points qui donnent une pente positive. Ces points apparaissent lorsque la discrétisation devient trop fine (en espace quand le paramètre de taille du maillage h tend vers zéro, ou quand p le nombre de fonctions de base par élément tend vers l'infini). Ceci provient du lien entre l'ordre et le conditionnement des matrices blocs D_k (D est diagonale par blocs). En effet, on montre que le conditionnement des matrices D_k est supérieur à h_k^-2[p/2]+2 pour $p \geq 4$, (théorème 8 p. ), estimation corroborée par les tests numériques (figure I.3.8). Les matrices D_k^-1 sont alors mal calculées, ce qui nous prive du gain en précision dû au grand nombre de fonctions de base. Noter que ceci n'est pas en pratique un handicap pour l'utilisation de la méthode, ce genre de problème ne survenant que lorsque la discrétisation est excessivement fine. En revanche, on a constaté numériquement (figure I.3.8) et prouvé (annexe III.E.1) que, pour trois fonctions de base par élément, le conditionnement des matrices D_k ne dépend pas de h.

Remarque 15   Nous avons constaté empiriquement que le nombre d'itérations de l'algorithme de Richardson augmente quand le conditionnement de la matrice hermitienne D augmente. A titre purement indicatif et expérimental, indiquons que 200 itérations suffisent pour résoudre un problème pour lequel la matrice D est bien conditionnée (voir par exemple la figure I.4.17), 600 dans le cas d'un problème pour lequel la matrice D est mal conditionnée (et qui mène à des normes d'erreur relative de l'ordre de la racine carrée de la précision machine): c'est le nombre maximal d'itérations effectuées pour les calculs de la figure I.3.3. On peut donc conclure que,

• dans le cadre de notre formulation, la technique de résolution du système linéaire par la méthode de Richardson est parfaitement robuste; ceci provient de notre connaissance du spectre de la matrice D^-1C.
• La méthode ultra-faible, et l'algorithme de résolution du système discret, ne sont pas, en pratique, sujets aux problèmes de conditionnement. Au contraire, les problèmes de conditionnement des systèmes linéaires issus de la FEM ou des équations intégrales obligent souvent l'emploi d'un préconditionneur, ce qui est une opération coûteuse. Le nombre d'itérations des algorithmes de résolution de ces méthodes augmente aussi avec le conditionnement, et pour une précision finale de calcul beaucoup plus faible.
• La méthode est remarquablement précise, par exemple jusqu'à une précision de 10^-6 sur la norme relative $\vert\vert u-u_h\vert\vert _{L^2(\Omega)}$ dans le cas de la figure I.3.3.

Figure I.3.3: Faisceau de courbes d'erreur en fonction de 1/h. Le nombre de fonctions de base par élément varie de 3 à 15 (de haut en bas).