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II.9.1.3 Bilan de l'étude de l'erreur d'interpolation.

Nous pouvons maintenant rassembler les résultats obtenus dans cette section par le théorème 17.

Théorème 17 (Majoration de l'erreur d'interpolation)   Soit (<I>E,<I>H) une solution du problème de Maxwell (II.9.3) dans le vide sans source, soit $\varepsilon =\mu=1$ et (<I>m,<I>j)=(0,0) dans $\Omega $. Nous supposons $({{\mathbf E}},{{\mathbf H}}) \in (C^{N+1}(\Omega))^2$ et $N\ge 0$. Soit ${{\mathcal{X}}}$ la solution du problème variationnel avec ${{\mathcal{X}}}={{\mathbf E}} \wedge \nu +\left( {{\mathbf H}} \wedge \nu \right) \wedge \nu $. Nous supposons que le maillage de $\Omega $ vérifie les hypothèses d'uniforme régularité. Alors, il existe p=(N+1)(N+3) directions de propagation définissant les 2pK fonctions de base de la formulation discrète et une constante positive C dépendant de N, des fonctions de bases et des données du problème, telles que
(II.9.51) \begin{displaymath}
\vert\vert(I-P_h){{\mathcal{X}}}\vert\vert _V \le C h^{N+1/2} \ .
\end{displaymath}

Par exemple, pour p=3 directions, l'ordre de l'erreur d'interpolation est 1/2.

Remarque 44   Pour N paire, le nombre p de directions données par p=(N+1)(N+3) correspond au nombre de directions donné par le découpage SN de la sphère unité (section II.8.3.2.1).

Remarque 45   Dans la démonstration du théorème 17, le fait que (<I>m,<I>j)=(0,0) dans $\Omega $ est essentiel pour $N\ge 1$. En revanche, pour N=0 on a vu que le système linéaire (II.9.20) admet une solution: les conditions de divergence (II.9.7) et de rotationnel (II.9.6) ne sont pas utilisées. On aura donc $\forall p \geq 3$, pour $({{\mathbf E}},{{\mathbf H}}) \in (C^{1}(\Omega))^2$ solution du problème de Maxwell (II.9.3) dans le vide,
(II.9.52) \begin{displaymath}
\vert\vert(I-P_h){{\mathcal{X}}}\vert\vert _V \le C h^{1/2} \ .
\end{displaymath}


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Cessenat Olivier 2007-04-21