II.10.2.2 Intérêt par rapport à une méthode d'éléments finis.

Nous effectuons une simulation sur un cube parfaitement conducteur placé dans le vide comme dans la figure II.10.1 b). L'arête du cube diffractant est de longueur a=50 cm. Le domaine de maillage est centré sur le centre de ce cube et contenu dans un cube d'arête de longueur b=70 cm. Nous effectuons une simulation à l'aide de trois maillages en tétraèdres dont le nombre d'éléments est $K=N=10\, 464$, environ 8N ($K=83\, 712$) et environ N/8 ($K=1\, 308$). Les caractéristiques précises du cas étudié sont données dans le tableau II.10.4. Le code ${\mathcal L}ior$ est utilisé avec des fonctions de base constantes d'un élément à un autre, et opère en champ total.

Tableau II.10.10: Une comparaison avec les éléments finis.

$(\theta,\phi)$	(45,0)	<I>k0	$-(1/\sqrt{2},0,1/\sqrt{2})$
<I>E0	(0,-1,0)	p	3, 6, 9 ou 12
f (MHz)	400	K	$1\, 308$, $10\, 464$ ou $83\, 712$
$\lambda$	0.75 m	$\lambda/h$	13,6; 27,3 ou 54,5

Nous comparons le code ${\mathcal L}ior$ à un code éléments finis standard écrit par Bruno Stupfel. Ce code est utilisé pour la même condition aux limites absorbante. Notons que la technique de résolution du système linéaire pour la méthode d'éléments finis utilisée est un algorithme itératif de gradient conjugué par produit scalaire non Hermitien. Nous allons comparer simultanément

• les temps de calculs,
• la place mémoire,
• la précision du calcul.

Notons que les temps de calcul sont dans les deux cas assujettis au nombre d'itérations des algorithmes itératifs respectifs des deux méthodes de résolution du système linéaire. Les temps de calcul ne doivent être pris qu'à titre purement qualitatif.

Notons que l'on ne connaît pas la solution exacte de ce problème de ``scattering'' (II.10.1). La précision obtenue par les simulations numériques est donc seulement estimée par rapport à des courbes de référence qui sont des approximations de la solution exacte. Ces courbes sont obtenues pour des discrétisations élevées du problème. En pratique cela correspond à une courbe ``limite'' lorsque la discrétisation augmente, mais évidemment la limite n'est pas atteinte. Nous représentons, figure II.10.23, les valeurs de la SER en balayage bistatique de 45 à 225 degrés pour ces courbes de référence, pour ${\mathcal L}ior$ comme pour le code Eléments Finis dans les deux polarisations.

Figure II.10.23: SER de ``référence'' comparée à un code Eléments Finis.

mode TE	mode TM.

Figure II.10.24: Etude de convergence des Eléments Finis P1, maillage variable.

mode TE	mode TM.

Figure: Etude de convergence du code ${\mathcal L}ior$: discrétisation insuffisante.

mode TE	mode TM.

Figure: Etude de convergence du code ${\mathcal L}ior$: discrétisation ``suffisante''.

mode TE	mode TM.

La figure II.10.24 étudie la convergence de la méthode des éléments finis par rapport au paramètre de raffinement du maillage, les figures II.10.25 et II.10.26 la convergence du code ${\mathcal L}ior$ par rapport au nombre de fonctions de base et au paramètre de raffinement du maillage. La figure II.10.25 représente les cas pour lesquels nous considérons que la discrétisation est trop grossière (par comparaison à la courbe de référence pour N éléments et 9 directions), la figure II.10.26 les cas où le code ${\mathcal L}ior$ donne des résultats corrects et comparables à ceux de la courbe de référence II.10.23.

Nous avons testé les deux codes par rapport à la discrétisation. Le code Eléments Finis utilise des éléments P₁, nous n'avons pas fait varier le degré mais uniquement le nombre d'éléments du maillage. Pour ${\mathcal L}ior$ nous avons fait varier le nombre de fonctions de base par élément. Nous n'avons pas utilisé le maillage le plus raffiné car notre but est de montrer que l'on peut grossièrement atteindre la même précision de calcul pour une place mémoire et un temps de calcul du même ordre mais pour moins d'éléments que par la méthode d'éléments finis. Nous laissons le lecteur libre d'accepter ce résultat au vu des courbes II.10.24 et II.10.26. Nous constatons en revanche que notre méthode, même si elle calcule toujours une solution, est moins précise pour une discrétisation trop lâche (figure II.10.25).

Les places mémoires sont

1. Pour les éléments finis d'arête P₁ avec des tétraèdres, la taille du système linéaire est en 21 x N. En effet, la matrice est composée de blocs hermitiens dont la taille est le nombre d'arêtes dans un tétraèdre, soit 6 (on a $21=\frac{6*(6+1)}{2}$). La matrice est composée de termes réels ou complexes, mais pour plus de commodité, elle est stockée uniformément en complexes.
2. Pour ${\mathcal L}ior$ la taille mémoire pour des tétraèdres dans le vide est proportionnelle à $2\times\frac{p(p+1)}{2}+4\times p^2$ (elle double dans un matériau). Tous les termes sont complexes sauf les 2p coefficients de la diagonale de la matrice hermitienne.

Tableau II.10.11: Evolutions comparées des temps CPU et tailles mémoires.

Discrétisation, méthode	Temps CPU (s)	Taille mémoire relative
EF maillage 8N	400	168
EF maillage N	35	21
${\mathcal L}ior$ maillage N/8, 12 fb	23,7	163
${\mathcal L}ior$ maillage N/8, 9 fb	13,1	92
${\mathcal L}ior$ maillage N/8, 6 fb	8,5	41
${\mathcal L}ior$ maillage N, 9 fb	105	738
${\mathcal L}ior$ maillage N, 6 fb	60	330

Nous résumons les temps de calcul et les tailles mémoires des cas les plus intéressants des deux méthodes dans le tableau II.10.11. On voit qu'il est intéressant pour le code ${\mathcal L}ior$ de prendre un nombre élevé de fonctions de bases par élément et un maillage réduit. On réussit alors dans le cas de 12 fonctions de base par élément avec le maillage en N/8 éléments à obtenir une précision équivalente à celle du maillage en 8N éléments pour la méthode d'éléments finis.