II.7.1.2 Cadre mathématique usuel et résultats d'existence et d'unicité.

Nous définissons l'espace des fonctions d'énergie finie ${\rm {H}}({\rm {rot}},{\Omega})$:

$$% {\rm {H}}({\rm {rot}},{\Omega}) = \left\{ {{\mathbf F}}\in ... ...\wedge}\nolimits {{\mathbf F}}\in (L^2(\Omega))^3 \right\} \ .$$ (II.7.20)

Les fonctions <I>E et <I>H vérifiant (II.7.17) où $\varepsilon$ et $\mu$ sont constants sur $\Omega$ seront naturellement, comme les termes sources <I>m et <I>j, dans l'espace des fonctions de divergence nulle:

$${\rm {H}}({\rm {div}}_0,{\Omega}) = \left\{ {{\mathbf F}}\in... ...^3; \ \mathop{\nabla .}\nolimits {{\mathbf F}}= 0 \right\} \ .$$ (II.7.21)

Le cadre fonctionnel de résolution des équations de Maxwell dans le vide est constitué des espaces suivants.

• Les termes sources volumiques <I>m et <I>j sont des fonctions de
  

  $$% {\rm {H}}({\rm {div}}_0,{\Omega}) %= \defmaxcond{\Omega}{\Gamma} % \ .$$ (II.7.22)

  
  

• Le terme de bord g sur $\Gamma$ appartient à
  

  $$L^2_t(\Gamma) = \left\{ {{\mathbf F}}; {{\mathbf F}}_{\vert{... ...\ {{\mathbf F}}_{\vert{\Gamma}} \, . \, \nu = 0 \ \right\} \ .$$ (II.7.23)

  
  

• Le cadre fonctionnel adéquat pour les fonctions <I>E et <I>H pour un problème dans un milieu de caractéristiques réelles et constantes est
  

  $${\tilde{{\mathcal{H}}}}(\Omega,\Gamma) = \left\{ {{\mathbf F... ... F}}_{\vert{\Gamma}} \wedge \nu \in L^2_t(\Gamma) \right\} \ .$$ (II.7.24)

  
  
  Pour étudier les problèmes dans des milieux comme ceux de la figure II.7.1 formés de deux sous-domaines $\Omega_v$ et $\Omega_m$ d'interface assez régulière et où les permittivité et perméabilité sont égales à 1 sur $\Omega_v$ et constantes vérifiant les conditions (II.7.1) et (II.7.2) sur $\Omega_m$, nous définissons ${{\mathcal{H}}}(\Omega,\Gamma)$ par
  

  $${{\mathcal{H}}}(\Omega,\Gamma) = \left\{ {{\mathbf F}}; {{\m... ...\wedge \nu = {{\mathbf F}}_{\vert\Omega_v} \wedge \nu \right\}$$ (II.7.25)

  
  
  Notons que si ${{\mathbf F}}\in {\rm {H}}({\rm {rot}},{\Omega})$ alors ${{\mathbf F}}_{\vert\Gamma} \wedge \nu \in {\rm {H}}^{-1/2}({\rm {div}},{\Gamma})$ par le théorème de trace continue surjective ([14]).

Donnons maintenant un résultat d'existence et d'unicité pour le problème (1) dans le cas de coefficients constants: Problème 2 : trouver $({{\mathbf E}},{{\mathbf H}}) \in ({\rm {H}}({\rm {rot}},{\Omega}) \cap {\rm {H}}({\rm {div}}_0,{\Omega}))^2$ tel que

• dans $\Omega$,
  

  $$\left\{ \null\,\vcenter{\openup\jot \let\\ =\@ \ialign{\str... ... \varepsilon {{\mathbf E}}= {{\mathbf j}}\cr \crcr}}\, \right.$$ (II.7.26)

  
  

• sur $\Gamma$,
  

  $$\null\,\vcenter{\openup\jot \let\\ =\@ \ialign{\strut\hfil$... ... (({{\mathbf H}} \wedge \nu ) \wedge \nu ) ) + g \cr \crcr}}\,$$ (II.7.27)

  
  

height0.6ex

Théorème 11 (Existence et unicité à coefficients constants.)   Soit $\Omega$ un domaine de ${\mathbb{R}}^3$ borné de frontière $\Gamma$ assez régulière (par exemple C¹). Soit $({{\mathbf m}},{{\mathbf j}}) \in ({\rm {H}}({\rm {div}}_0,{\Omega}))^2$ et $g \in {\rm {H}}^{-1/2}({\rm {div}},{\Gamma})$. Les fonctions $\varepsilon$ et $\mu$ sont des constantes qui vérifient les hypothèses (II.7.1) et (II.7.2). On suppose $\vert\vert{{\mathit Q}}\vert\vert _{\Gamma} < 1$. Alors, le problème 2 admet une solution unique. Si de plus $g \in L^2_t(\Gamma)$ et ${{\mathit Q}}\ne 1$ ou -1, (par exemple ${{\mathit Q}}=0$) alors $({{\mathbf E}},{{\mathbf H}}) \in ({\tilde{{\mathcal{H}}}}(\Omega,\Gamma))^2$ [24].

Remarque 31   Si $\Omega \in C^{1,1}$ et si $g \in {\rm {H}}_t^{1/2}({\Gamma})$ on a la solution dans $H^1(\Omega)$.

Citons les résultats de Mitrea [46] qui montre un résultat de régularité L² sur la frontière pour le problème de Maxwell sans terme source (i.e. (<I>m,<I>j)=(0,0)) avec diffraction sur un obstacle ( ${{\mathit Q}}=-1$ sur $\partial \Omega$) pour une fonction de bord $g\in L^2_t(\partial \Omega)$ de divergence surfacique $L^2(\partial \Omega)$ dans le cas très général où la frontière $\partial \Omega$ est lipschitzienne.

Nous définissons le problème homogène adjoint suivant, dans l'hypothèse où $\varepsilon$ et $\mu$ sont constants sur $\Omega$ (domaine qui sera, en pratique, une maille $\Omega _k$ où l'hypothèse $\varepsilon$ et $\mu$ constants sera naturellement vérifiée): Problème 3 : trouver $({{\mathbf E}},{{\mathbf H}}) \in ({\rm {H}}({\rm {rot}},{\Omega}) \cap {\rm {H}}({\rm {div}}_0,{\Omega}))^2$ tel que

• dans $\Omega$,
  

  $$\left\{ \null\,\vcenter{\openup\jot \let\\ =\@ \ialign{\str... ... \overline{\varepsilon }{{\mathbf E}}= 0 \cr \crcr}}\, \right.$$ (II.7.28)

  
  

• et sur $\partial \Omega$,
  

  $$\null\,\vcenter{\openup\jot \let\\ =\@ \ialign{\strut\hfil$... ...rt (({{\mathbf H}} \wedge \nu ) \wedge \nu ) = g \cr \crcr}}\,$$ (II.7.29)

  
  

où $g\in L^2_t(\partial \Omega)$.height0.6ex

Corollaire 7   Sous les mêmes hypothèses que celles du théorème 11, le problème 3 admet une solution unique dans $({\rm {H}}({\rm {rot}},{\Omega}) \cap {\rm {H}}({\rm {div}}_0,{\Omega}))^2$. Si $g\in L^2_t(\partial \Omega)$ et ${{\mathit Q}}\ne 1$ ou -1, alors $({{\mathbf E}},{{\mathbf H}}) \in ({\tilde{{\mathcal{H}}}}(\Omega,\Gamma))^2$.

Donnons une généralisation du théorème d'existence au cas des coefficients variables. Pour la preuve nous renvoyons le lecteur à [1]. Le lecteur constatera que le résultat est valable pour des perméabilité et permittivité complexes ou tenseurs symétriques bornés définis positifs.

Théorème 12 (Extension aux coefficients constants par morceaux)   Sous les hypothèses du théorème 11 à la variante près que les coefficients $\varepsilon$ et $\mu$ sont constants sur deux parties disjointes $\Omega_v$ et $\Omega_m$ de $\Omega$ dont l'interface est assez régulière (figure II.7.1), et pour $g \in {\rm {H}}^{-1/2}({\rm {div}},{\Gamma})$, on a l'existence et l'unicité de la solution du problème,

$$%\label{equation.m3dformmodth.057} \left\{ \null\,\vcenter{\o... ... \nu ) \wedge \nu ) ) + g \ (\Gamma) \ , \cr \crcr}}\, \right.$$ (II.7.30)

avec les relations (II.7.19) dans l'espace des fonctions ${\rm {H}}({\rm {rot}},{\Omega})$. Si $g \in L^2_t(\Gamma)$ et ${{\mathit Q}}\ne 1$ ou -1 les traces de <I>E et <I>H sur $\Gamma_m$ et $\Gamma_v$ seront $L^2_t(\Gamma_m)$ et $L^2_t(\Gamma_v)$. Par abus de langage, cet espace sera noté ${{\mathcal{H}}}(\Omega,\Gamma)$ (II.7.25).

Remarque 32   On déduit du fait que $({{\mathbf E}},{{\mathbf H}}) \in ({\rm {H}}({\rm {rot}},{\Omega}))^2$ et que $({{\mathbf m}}_{\vert\Omega_v},{{\mathbf j}}_{\vert\Omega_v}) \in ({\rm {H}}({\rm {div}}_0,{\Omega_v}))^2$ que $({{\mathbf E}}_{\vert\Omega_v},{{\mathbf H}}_{\vert\Omega_v}) \in ({\rm {H}}({\rm {div}}_0,{\Omega_v}))^2$ et de même sur $\Omega_m$.

Nous n'effectuons pas la preuve du théorème 11 qui n'est pas l'objet essentiel de notre exposé. Le point crucial de la preuve effectuée dans [24] dans le cas de la propagation libre dans le vide est la mise sous la forme variationnelle classique d'un opérateur coercif et d'une perturbation dont on montre la compacité par les théorèmes d'injection continue de ${{\mathcal{H}}}(\Omega,\Gamma)$ dans $(H^{1/2}(\Omega))^3$ et l'injection compacte de $(H^{1/2}(\Omega))^3$ dans $(L^2(\Omega))^3$ qui nous mène à l'alternative de Fredholm. On montre l'unicité à l'aide de la condition de divergence comprise dans l'espace fonctionnel de travail $H(\mbox{div}_0,\Omega)$. Notons que l'hypothèse ``frontière $\Gamma$ assez régulière'' peut signifier lipschitzienne [21], cadre qui nous sera utile dans nos applications. Le théorème 12 ([1]) est essentiel aussi pour toute application numérique dans un cadre industriel où les caractéristiques du milieu ne peuvent être constantes. Nous montrons ici seulement la façon d'obtenir la formulation variationnelle dans le cadre du théorème 11 et du corollaire 7.

Lemme 12   Le problème 2 s'écrit sous la forme variationnelle sur <I>E dans ${{\mathcal{H}}}(\Omega,\Gamma)$:

$$\left\{ \null\,\vcenter{\openup\jot \let\\ =\@ \ialign{\str... ...athbf E}^{'}} \wedge \nu ) \wedge \nu }) \cr \crcr}}\, \right.$$ (II.7.31)

pour tout ${{\mathbf E}^{'}}\in {{\mathcal{H}}}(\Omega,\Gamma)$ en posant

$$% \left\{ \null\,\vcenter{\openup\jot \let\\ =\@ \ialign{\st... ...thbf m}} \wedge \nu }{\displaystyle \mu} \cr \crcr}}\, \right.$$ (II.7.32)

avec $\zeta=\frac{\displaystyle 1+{{\mathit Q}}}{\displaystyle 1-{{\mathit Q}}} \frac{\displaystyle \vert\sqrt{\varepsilon }\vert}{\displaystyle \vert\sqrt{\mu}\vert}$.

Lemme 13   Le problème 3 s'écrit sous la forme variationnelle sur <I>E dans ${{\mathcal{H}}}(\Omega,\Gamma)$:

$$% \left\{ \null\,\vcenter{\openup\jot \let\\ =\@ \ialign{\st... ...athbf E}^{'}} \wedge \nu ) \wedge \nu }) \cr \crcr}}\, \right.$$ (II.7.33)

pour tout ${{\mathbf E}^{'}}\in {{\mathcal{H}}}(\Omega,\Gamma)$.