Présentation de la deuxième partie.

Présentation de la deuxième partie.

Cette partie présente l'application de la formulation variationnelle ultra-faible au problème harmonique de Maxwell dans un domaine tridimensionnel borné $\Omega$, dans le vide ou en présence d'un diélectrique de permittivité $\varepsilon$ et de perméabilité $\mu$ par rapport au vide. Comme lors de l'étude du problème de Helmholtz, la frontière $\Gamma$ du domaine sera supposée assez régulière, au moins lipschitzienne. Le problème de Maxwell en régime harmonique se modélise par:

Problème 1 : trouver (<I>E,<I>H) tel que, dans $\Omega$, pour des termes sources <I>m et <I>j de divergence nulle,

$$\left\{ \null\,\vcenter{\openup\jot \let\\ =\@ \ialign{\str... ...abla .}\nolimits (\mu {{\mathbf H}}) = 0 \cr \crcr}}\, \right.$$ (II.6.1)

et sur la frontière $\Gamma$,

$$-\vert\sqrt{\varepsilon }\vert {{\mathbf E}} \wedge \nu +\ve... ...ft( {{\mathbf H}} \wedge \nu \right) \wedge \nu \right) +g \ .$$ (II.6.2)

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Le problème de Maxwell harmonique entre dans le cadre général d'application de la formulation variationnelle ultra-faible. Nous allons introduire le formalisme variationnel ultra-faible à l'aide d'un espace fonctionnel hilbertien L² sur les traces tangentielles de la solution sur le bord d'une partition du domaine $\Omega$ en K sous-domaines $\Omega _k$, espace que nous notons V. Dans le vide, l'inconnue de notre formulation est

$${{\mathcal{X}}}= {{\mathbf E}} \wedge \nu + \left( {{\mathbf H}} \wedge \nu \right) \wedge \nu$$

sur toutes les interfaces et faces frontières de la partition. La mise en place de la formulation et l'équivalence avec le problème de Maxwell de départ sont globalement présentées de la même façon que dans la première partie. Sous des hypothèses de régularité de la solution (<I>E,<I>H), nous montrons que le problème se traduit, comme pour le problème de Helmholtz, par la formulation

$$\left\{ \null\,\vcenter{\openup\jot \let\\ =\@ \ialign{\stru... ...l que} \cr & (I-A){{\mathcal{X}}}= b \ , \cr \crcr}}\, \right.$$

où $b \in V$ et l'opérateur I-A a les mêmes propriétés qu'en première partie.

L'espace des fonctions tests est l'espace des fonctions ${{\mathcal{Y}}}\in V$ données par

$${{\mathcal{Y}}}= {{\mathbf E}^{'}} \wedge \nu + \left( {{\mathbf H}^{'}} \wedge \nu \right) \wedge \nu$$

où les fonctions (<I>E^',<I>H^') sont solutions de

$$\left\{ \null\,\vcenter{\openup\jot \let\\ =\@ \ialign{\str... ...erline{\varepsilon }{{\mathbf E}^{'}}= 0 \cr \crcr}}\, \right.$$ (II.6.3)

sur les éléments $\Omega _k$, où l'on suppose $\varepsilon$ et $\mu$ constants. On suppose que (<I>E^',<I>H^') sont d'énergie finie et que leur traces tangentielles sont L². Nous proposons une écriture équivalente de (II.6.3) dans le vide, où $\varepsilon =\mu=1$, en introduisant des fonctions à polarisations ``circulaires'' <I>F et <I>G qui vérifient les équations découplés

$$\left\{ \null\,\vcenter{\openup\jot \let\\ =\@ \ialign{\str... ...mits {{\mathbf G}}= +\omega {{\mathbf G}}\cr \crcr}}\, \right.$$ (II.6.4)

et qui sont reliées à (<I>E^',<I>H^') par

$$% \left\{ \null\,\vcenter{\openup\jot \let\\ =\@ \ialign{\st... ...{{\mathbf E}^{'}}-i {{\mathbf H}^{'}}\ . \cr \crcr}}\, \right.$$ (II.6.5)

La discrétisation s'effectue par une procédure de Galerkin. Comme pour le problème de Helmholtz, nous choisissons des ondes planes, aux directions de propagation notées V_k,l. L'indice k indique que l'onde plane a son support dans l'élément $\Omega _k$, l'indice l, qui varie de 1 à p le nombre de directions choisies par élément, est un indice local à l'élément $\Omega _k$. Le nombre p, pour des raisons de mise en uvre informatique, est constant sur tous les éléments. Le caractère tridimensionnel du problème impose de munir les ondes planes d'un vecteur polarisation constant. Les relations de Gauss (ou de divergence) imposent l'orthogonalité des directions de propagation et des polarisations. Le découplage des équations de Maxwell dans le vide (II.6.4) nous a permis de considérer des fonctions de base orthogonales dans le vide pour le produit scalaire dans V, issues de p couples d'ondes planes aux polarisations complexes conjuguées dans le vide. Ces ondes planes, en notant <I>X le vecteur position, sont (sur un élément $\Omega _k$) de la forme^II.61,

$$\left\vert \null\,\vcenter{\openup\jot \let\\ =\@ \ialign{\s... ...l}} \, . \, {{{\mathbf X}}}\right) } \ , \cr \crcr}}\, \right.$$

où pour les indices k et l fixés, la famille

$$\left({{\mathbf E}}^{0}_{k,l}, V_{k,l}, {{\mathbf E}}^{0}_{k,l} \wedge V_{k,l} \right)$$

est une base orthonormée directe de ${\mathbb{R}}^3$.

L'orthogonalité dans V des fonctions de base issues de ces ondes planes permet, dans le vide, de réduire (presque) de moitié la taille mémoire nécessaire au stockage du problème matriciel

$$\left\{ \null\,\vcenter{\openup\jot \let\\ =\@ \ialign{\stru... ...l que} \cr & (D-C){{\mathcal{X}}}= b \ , \cr \crcr}}\, \right.$$

où $b \in {\mathbb{C}}^{2pK}$. La matrice D du produit scalaire dans V_h est inversible sous la condition que les directions de propagation soient toutes distinctes deux à deux. Le fait que $\Omega$ est tridimensionnel complique la preuve par rapport à la preuve équivalente de la première partie. Le système linéaire est inversé par le même algorithme itératif. La matrice du système linéaire a la même propriété d'injectivité que celle issue de la discrétisation du problème de Helmholtz.

La similitude profonde, à la fois théorique sur les opérateurs du problème continu et du système linéaire discret, et pratique sur la mise en uvre de l'espace de discrétisation constitué d'ondes planes, nous a poussé à examiner les problèmes d'estimations d'erreur, estimations étudiées en détails dans la première partie. Par exemple, l'estimation du résidu par l'erreur d'interpolation est une conséquence pure des propriétés de la formulation, communes aux deux parties. Sans chercher à simplement répéter les extrapolations logiques des lois concernant Helmholtz bidimensionnel à des lois pour Maxwell tridimensionnel, nous avons néanmoins mis en avant le problème central, à savoir l'estimation de l'erreur d'interpolation. Cette estimation montre qu'il existe un choix adéquat de p=(N+1)(N+3) directions de propagation des ondes planes tel que l'erreur d'interpolation soit majorée par

$$\vert\vert(I-P_h){{\mathcal{X}}}\vert\vert _V \le C h^{N+1/2} \ ,$$

où C est une constante strictement positive dépendant des données du problème harmonique et du choix des fonctions de base, mais indépendante de h le paramètre de taille du maillage. Cette propriété essentielle permet de montrer que la formulation ultra-faible appliquée au problème de Maxwell harmonique est asymptotiquement (en fonction de p) d'ordre plus élevé que la méthode des éléments finis P_k (en fonction de k). La loi d'ordre de convergence n'est plus linéaire comme en bidimensionnel, mais en racine carrée. Dans la méthode des éléments finis, l'ordre de convergence est en racine cubique de k.

L'intérêt d'un code Maxwell harmonique nous a poussé à nous concentrer sur l'étude des résultats numériques. Nous avons comparé le code ${\mathcal L}ior$ issu de la formulation ultra-faible à d'autres codes de résolution, notamment des codes éléments finis et volumes finis. Nous avons considéré particulièrement les aspects qui motivaient initialement cette étude dans le cadre du CEA: la viabilité de la méthode en terme de place mémoire, le coût informatique global (temps de calcul), la précision et la difficulté de la mise en uvre des calculs. En somme, il s'agit de montrer en quoi cette formulation est intéressante alors qu'il existe déjà un grand nombre de méthodes déjà largement validées et utilisées.