III.D.2.3 Programmation de I₃.

Rappelons que I₃ (III.D.8) est donné par

$$I_3(\alpha,\beta,\gamma) = 6V e^{i{{\mathbf k}}\vec{G}} e^{ ... ...eta,\gamma)-I(\beta ,\alpha)}{\displaystyle 2i(\gamma-\alpha)}$$ (III.D.16)

en définissant les fonctions I et f par

$$\left\{ \null\,\vcenter{\openup\jot \let\\ =\@ \ialign{\str... ...tyle \sin{\lambda}}{\displaystyle \lambda}} \crcr}}\, \right.$$ (III.D.17)

ou en définissant Z_n = e^i<I>k<I>X_n où <I>X_n est la position du n-ième sommet du tétraèdre,

$$I_3 = 6V Z_n \frac{\displaystyle I(\beta,\gamma)-I(\beta ,\alpha)}{\displaystyle 2i(\gamma-\alpha)} \ .$$

La programmation de cette intégrale volumique est très compliquée. Nous donnons l'algorithme de calcul sans explication, cet algorithme étant dans la ligne logique des algorithmes présentés dans les sections III.D.2.1 et III.D.2.2.

Nous laissons au lecteur le soin de calculer $\epsilon_1$ et $\epsilon_2$ de façon à maximiser la précision des calculs quels que soient les paramètres de la fonction I₃.

1. Pour $\vert\alpha-\gamma\vert\geq \epsilon_2$:
   1. Pour $\vert\beta-\alpha\vert \mbox{ et } \vert\beta-\gamma\vert\geq \epsilon_2$:
      1. Pour $\vert\alpha\vert \leq \epsilon_1$, on calcule alors I₃ en remplaçant $f(\alpha)$ par 1.
      2. Pour $\vert\beta\vert \leq \epsilon_1$, on calcule alors I₃ en remplaçant $f(\beta)$ par 1.
      3. Pour $\vert\gamma\vert \leq \epsilon_1$, on calcule alors I₃ en remplaçant $f(\gamma)$ par 1.
      4. Pour $(\alpha,\beta,\gamma) \geq \epsilon_2$, on calcule I₃ simplement par la formule III.D.16.

   2. Pour $\vert\beta-\alpha\vert \leq \epsilon_2 \mbox{ ou (exclusif) } \vert\beta-\gamma\vert \leq \epsilon_2$, comme le problème est symétrique, on suppose: $\vert\beta-\alpha\vert \leq \epsilon_2$. On doit donc remplacer $I(\alpha,\beta)$ par un développement:
      1. Pour $\vert\alpha\vert \leq \epsilon_2 \mbox{ et (ou) } \vert\beta\vert \leq \epsilon_2$, on calcule alors $I(\alpha,\beta)$ par son développement limité:

         
         

         $$% \left\{ \null\,\vcenter{\openup\jot \let\\ =\@ \ialign{\st... ...} +i {{{{\mathrm O}}(\alpha,\beta)}^5} \cr \crcr}}\, \right.$$ (III.D.18)

         
         

      2. Pour $\vert\alpha\vert \mbox{ et } \vert\beta\vert \geq \epsilon_2$, on calcule alors $I(\alpha,\beta)$ par:
         

         $$% \null\,\vcenter{\openup\jot \let\\ =\@ \ialign{\strut\hfil... ...eta-\alpha,-\alpha) \cr & = Z_1 I(\delta,-\alpha) \crcr}}\,$$ (III.D.19)

         
         
         où le dénominateur de $I(\delta,-\alpha)$ est forcément assez grand. On remplace $f(\delta)$ par:
         
         $$e^{i\delta} \frac{\displaystyle \sin{ \delta } }{\displaysty... ...{\displaystyle 120} \delta ^4 ) + {{{{\mathrm O}}(\delta)}^6}$$
         
         

2. Pour $\vert\alpha-\gamma\vert \leq \epsilon_2$:
   1. Pour $\vert\alpha\vert \mbox{ et } \vert\gamma\vert \geq \epsilon_2$, on a
      
      $$I_3 = V Z_3 {\frac{\displaystyle I(\beta_3 , \gamma_3)-I(\beta_3 , \alpha_3) }{\displaystyle 2i(\gamma_3-\alpha_3)}} \ ,$$
      
      
      avec $\alpha_3-\gamma_3=-\alpha$. On se ramène alors à l'étude précédente avec $\vert\alpha_3-\gamma_3\vert \geq \epsilon_2$.

   2. Pour $\vert\alpha\vert \leq \epsilon_2 \mbox{ et (ou) } \vert\gamma\vert \leq \epsilon_2$:
      1. Pour $\vert\beta \vert \leq \epsilon_2$, on effectue un développement limité complet de I₃:
         

         $$\left\{ \null\,\vcenter{\openup\jot \let\\ =\@ \ialign{\s... ...+i {{{{\mathrm O}}(\alpha,\beta,\gamma)}^5} \crcr}}\, \right.$$ (III.D.20)

         
         

      2. Pour $\vert\beta\vert \geq \epsilon_2$, on a
         
         $$I_3 = V Z_4 {\frac{\displaystyle I(\beta_4 , \gamma_4)- I(\beta_4 , \alpha_4)}{\displaystyle 2i(\gamma_4-\alpha_4)}}$$
         
         
         avec $\alpha_4-\gamma_4=-\beta$. On se ramène alors à l'étude précédente avec $\vert\alpha_4-\gamma_4\vert\geq \epsilon_2$.