II.8.1.3 Résolution du système linéaire.

La solution approchée ${{\mathcal{X}}}_h$ est entièrement définie par

$$% ({{\mathcal{X}}}_h)_{\partial \Omega_k} = \sum_{l=1}^{L} {{\mathcal{X}}}_{kl} {{\mathcal{Z}}}_{kl} \ .$$ (II.8.10)

où les LK coefficients complexes ${{\mathcal{X}}}_{kl}$ définissent le vecteur X solution du système linéaire discret

$$% (D-C) X = b \ .$$ (II.8.11)

Le formalisme présenté est strictement identique à celui de la résolution de la formulation discrète du problème de Helmholtz dans le vide. Le système est résolu par les mêmes étapes que nous rappelons.

1. Inversion de D menant au système dans ${\mathbb{C}}^{LK}$:
   

   $$(I-D^{-1}C) X = D^{-1}b \ .$$ (II.8.12)

   
   
   Nous inversons D par la méthode directe de Cholesky, très performante sur les matrices hermitiennes de taille réduite, comme c'est le cas des blocs D_k.
2. Calcul de M=D^-1C et b^'=D^-1b que l'on note encore b, donnant le système dans ${\mathbb{C}}^{LK}$:
   

   $$(I-M) X = b \ .$$ (II.8.13)

   
   

3. Résolution finale de II.8.13 grâce à l'algorithme itératif de Richardson présenté section I.2.3.2 par (I.2.39):
   

   $$%\label{equation.m3ddiscthinj.029} \beta_n \in ]0,5;1[ \ \lef... ... + [(1-\beta_n) I + \beta_n M] X_{n} \ . \cr \crcr}}\, \right.$$ (II.8.14)

   
   

La première étape est assurée par le lemme suivant:

Lemme 16   La matrice D construite à l'aide des fonctions de base ${{\mathcal{Z}}}_{kl}$ (définition 14) est hermitienne définie strictement positive. Elle est donc inversible.