III.D.1.1 Formules d'intégration sur un segment: calcul de I₁.

Nous calculons l'intégrale de (III.D.1) sur le segment [x₁,x₂], soit

$$% I_1 = \displaystyle \int _{[x_1,x_2]}{e^{i{{\mathbf k}}{{\mathbf X}}}} \ d \, {{\mathbf X}}$$ (III.D.2)

On pose $\alpha={{\mathbf k}}\, \frac{(\vec{x}_2-\vec{x}_1)}{2}$ et on note L la longueur du segment [x₁,x₂] soit L=|x₂-x₁|. On effectue le changement de variable

$$I_1 = L \displaystyle \int _{0}^{1} e^{i{{\mathbf k}}(x_1+ \theta (x_2-x_1))} \,d \theta \ ,$$

et l'intégrale I₁ est donnée par la fonction de $\alpha$

$$I_1(\alpha)=\left\vert \null\,\vcenter{\openup\jot \let\\ =... ...}{\displaystyle 2i\alpha} & \mbox{ sinon.} & \crcr}}\,\right.$$

On remarque que la fonction

$$\frac{e^{2i\alpha}-1}{2i\alpha}=e^{i\alpha} \frac{e^{i\alpha... ...\alpha}}{2i\alpha}= {e^{i\alpha} \frac{\sin{\alpha}}{\alpha}}$$

tend vers 1 lorsque $\alpha$ tend vers zéro. Donc, en prolongeant par continuité, on a finalement, $\forall \alpha \in {\mathbb{C}}$,

$$I_1(\alpha) = L e^{i{{\mathbf k}}\vec{G}} \frac{\displaystyle \sin{\alpha}}{\displaystyle \alpha} \$$ (III.D.3)

où $\vec{G}$ est le barycentre du segment [x₁,x₂].