I.3.2.4 Calculs d'ordre dans le cas non homogène: $f\ne 0$.

Par rapport au cas précédent de la section I.3.2.3, on choisit $\vec{v}_0=(v_0^1,v_0^2)$ vérifiant

$$(v_0^1)^2+(v_0^2)^2 = 1 + \frac{\displaystyle \mu}{\displaystyle \omega^2}, \ \mu \in {\mathbb{C}}, \ \mu \ne 0 \ ,$$

de façon à ce que $e^{(i\omega \vec{v}_0.\vec{x})}$ soit la solution du problème (I.0.1) avec

$$\left\{ \null\,\vcenter{\openup\jot \let\\ =\@ \ialign{\str... ...ega )e^{(i\omega \vec{v}_0.\vec{x})} \ . \cr \crcr}}\, \right.$$ (I.3.8)

Le tableau I.3.4 complète ces données de façon à définir le cas test étudié.

Tableau I.3.4: Paramètres du cas non homogène

Variables	Valeur
${{\mathit Q}}$	0.1
$\vec{v}_0$	( 1.4282799726 , i x 0.199959196164)
$\omega$	12.56637061436
$\mu$	157.9136704174

La figure I.3.6 montre l'évolution de l'ordre de l'erreur sur la norme de x.

Figure: Cas $f\ne 0$, ordres sur x.

Norme sur V	Norme $L^2 ( \Gamma)$

Remarque 17   D'après le lemme 10 qui donne l'estimation (I.3.36), on sait que les estimations de u sur $\Gamma$ restent bonnes à condition de bien calculer u_h sur $\Gamma$ par (I.2.23) section I.2.1.5. Ainsi, l'ordre de l'erreur relative sur u_h en norme $L^2 ( \Gamma)$ ne peut pas être inférieur à celui donnée par la figure I.3.6. En pratique, la loi est la même (nous ne montrons pas ces simulations qui n'apportent pas grand chose par rapport aux courbes I.3.6). En revanche, regardons ce qui se passe si l'on essaie d'approcher u par u_h, combinaison linéaire des fonctions e_kl, situation adaptée au cas homogène (équation (I.2.27), section I.2.1.5). On constate que les normes

$$\frac{\displaystyle \vert\vert u-u_h\vert\vert _{L^2(\Omega)... ...\Gamma)}}{\displaystyle \vert\vert u\vert\vert _{L^2(\Gamma)}}$$

de la figure I.3.7 n'évoluent pas en fonction de p, le nombre de fonctions de base par élément. Elles suivent une loi de convergence en h¹, le paramètre de raffinement du maillage.

Cet ordre de convergence constant était attendu, on essaie en effet d'approcher une solution d'un problème non homogène par une solution homogène (noter la lente dégradation du résultat, due aux problèmes de conditionnement). Jusqu'à présent, l'approximation de u dans $\Omega$ est plutôt mauvaise. Il faut garder à l'esprit que, sur le bord $\Gamma$, nous devons absolument prendre la formule d'approximation (I.2.23) et non celle qui est plus aisée à calculer numériquement (I.2.27).

Figure: Cas $f\ne 0$, ordres sur u, approché par (I.2.27).

Norme $L^2(\Omega)$	Norme $L^2 ( \Gamma)$