III.E.1 Problème de Helmholtz bidimensionnel.

Pour le triangle numéroté par l'indice k, on définit les quantités suivantes:

1. les trois longueurs notées L₁,L₂,L₃,
2. les trois normales notées $\vec{\nu}_1$, $\vec{\nu}_2$ et $\vec{\nu}_3$,
3. le périmètre noté P,
4. la surface notée S.

On s'intéresse au cas asymptotique $h \rightarrow 0$ et p=3 pour un problème bidimensionnel.

Théorème 19  

On introduit la matrice limite D^r définie par

$$% D^r=\lim_{h \to 0}{\frac{\displaystyle D}{\displaystyle h\omega^2}} \ ,$$ (III.E.1)

ainsi que les quantités réduites indexées (P^r,S^r,L₁^r,L₂^r,L₃^r) qui sont obtenues des précédentes en divisant par $h\omega^2$ sauf S^r où l'on divise par $(h\omega^2)^2$. Alors:

1. La matrice limite D^r existe et est inversible.
2. Le déterminant de D^r se calcule par le produit de deux quantités, l'une faisant intervenir la géométrie du triangle, l'autre la répartition des fonctions de base. Des ondes planes équiréparties maximisent le déterminant de D^r et il vaut alors
   

   $$\mbox{\fbox{$\mbox{det} D^r = 27.\frac{\displaystyle (P^rS^r)^2}{\displaystyle L_1^rL_2^rL_3^r} $}}$$ (III.E.2)

   
   

3. La majoration du conditionnement à partir du déterminant est maximale pour des ondes planes équiréparties et on majore le conditionnement de D par
   

   $$% \frac{\displaystyle \lambda_{max}}{\displaystyle \lambda_{m... ...\le \frac{\displaystyle 12}{\displaystyle \pi} (4\sigma)^4 \ .$$ (III.E.3)

   
   
   dont le terme majorant $\sigma=h/\rho$ (I.2.4) est minimal dans le cas d'un triangle équilatéral.

La preuve de ce théorème fait l'objet de toute cette section. La preuve est longue, technique et calculatoire. Elle est effectuée en plusieurs étapes et suit l'ordre de présentation des résultats effectuée théorème 19:

a)

simplification du déterminant de la matrice D (où l'on ne garde que les termes d'ordre 1 en h) en un produit dépendant de l'unité d'échelle du triangle h et un terme indépendant de h,

b)

découplage du déterminant (toujours de la matrice D où l'on n'a gardé que les termes du premier ordre en h) entre les termes géométriques et les fonctions de base,

c)

optimisation du déterminant en fonction du choix des directions de propagation des ondes planes,

d)

récapitulatif des points précédents et fin du calcul du déterminant (ceci montre le point 2 du théorème 19),

e)

majoration du conditionnement (point 3 du théorème 19).

Le lemme suivant donne la forme de la matrice réduite D^r.

Lemme 29   Les termes de la matrice D_k (calculés chapitre III.A) sont équivalents au premier ordre à la matrice, encore notée D (par abus) dans toute cette section, dont les termes D^l,m pour $(l,m) \in \{1,2,3 \}^2$ sont^III.E1

$$% D^{l,m}=\omega^2 \sum_{n=1}^{3}{L_n(1-\vec{\nu}_n \, \vec{v}_{m})(1-\vec{\nu}_n.\vec{v}_{l})} \ .$$ (III.E.4)

Les termes de la matrice réduite sont donc

$$% D^r_{l,m}=\sum_{n=1}^{3}{L^r_n(1-\vec{\nu}_n \, \vec{v}_{m})(1-\vec{\nu}_n.\vec{v}_{l})} \ .$$ (III.E.5)

On pose:

$$% \vec{w}_n = \left( \begin{array}{l} 1-\vec{\nu}_n.\vec{v}_... ...}_{2} \\ 1-\vec{\nu}_n.\vec{v}_{3} \\ \end{array}\right) \ ,$$ (III.E.6)

et D sera la matrice définie par

$$% \null\,\vcenter{\openup1\jot \let\\ =\@ \ialign{\strut\hfi... ...+L_3D_3) \cr & D_n = [\vec{w}_n\otimes\vec{w}_n] \ . \crcr}}\,$$ (III.E.7)

Remarque 54   En toute rigueur, on a

$$D_k = \omega^2(L_1D_1+L_2D_2+L_3D_3) + O(h^2) \ .$$

On pose en outre, dans toute cette section,

$$\xi=(\vec{w}_1,\vec{w}_{2},\vec{w}_{3})_{mixte} \ .$$ (III.E.8)

a) Simplification du déterminant de D.

Lemme 30   La matrice D est inversible si et seulement si les trois vecteurs $\vec{w}_n$ sont indépendants dans ${\mathbb{R}}^3$:

$$\mbox{\fbox{$\mbox{det} D = \omega^6L_1L_2L_3.(\vec{w}_{1},\vec{w}_{2},\vec{w}_{3})_{mixte}^2$}}$$

b) Découplage du déterminant entre les termes géométriques et les fonctions de base.

Lemme 31   $L_1\vec{\nu}_1+L_2\vec{\nu}_2+L_3\vec{\nu}_3 = 0$ .

Lemme 32   Pour $\xi = (\vec{w}_{1},\vec{w}_{2},\vec{w}_{3})_{mixte}$ (cf (III.E.9)) et P=(L₁+L₂+L₃), on a:

$$\xi = \frac{\displaystyle P}{\displaystyle L_3} (\vec{\nu}_1... ...1 \\ v_{3}^1 & v_{3}^2 & 1 \\ \end{array}\right\vert \ .$$ (III.E.9)

c) Optimisation du déterminant.

Le calcul du produit mixte de trois vecteurs donne le volume du simplexe déterminé par ces trois vecteurs: nous avons pensé que le déterminant est de module maximal pour des vecteurs v_n équirépartis dans le plan. C'est ce que nous allons montrer dans le lemme suivant.

Lemme 33   On montre que $\vert\xi\vert$ est maximal pour des vecteurs v_n équirépartis dans le plan.

d) Récapitulatif et fin du calcul du déterminant.

Lemme 34   $L_1L_2(\vec{\nu}_{1},\vec{\nu}_{2})_{mixte}=$ 2 fois l'aire S du triangle.

e) Majoration du conditionnement. Nous allons montrer le dernier point du théorème 19.

Lemme 35   Des ondes planes équiréparties assurent la majoration suivante du conditionnement des matrices D et D^r:

$$% \mbox{\fbox{$\frac{\displaystyle \lambda_{max}}{\displaysty... ...leq \frac{\displaystyle 12}{\displaystyle \pi} (4\sigma)^4 $}}$$ (III.E.10)

où $\sigma=h/\rho$ est défini en (I.2.4). Cette majoration est obtenue pour un élément régulier, c'est-à-dire vérifiant les hypothèses de régularité H1, H2 et H3 de la section I.2.1.2. Dans le cas d'un triangle équilatéral, nous maximisons le terme majorant $\sigma$.

f) Remarques.

Remarque 55   Ce résultat est généralisable au problème de Helmholtz scalaire dans un espace tridimensionnel avec un tétraèdre et 4 fonctions de base (cf Annexe III.E.2). En revanche, on ne peut pas le généraliser au cas des n-polygones avec n fonctions de base $\vec{v}_n$. On peut en donner un contre-exemple pour n=4. Prenons $(\vec{x}_1,\vec{x}_2,\vec{x}_3,\vec{x}_4)$ un carré, $(\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3,\lambda_4)=(1,-1,1,-1)$. Les vecteurs w_n sont alors liés.

Remarque 56   Il est trivial de remarquer que la matrice limite D^r ( $h \rightarrow 0$) avec quatre fonctions de base ou plus ($p \geq 4$) n'est pas inversible. En effet, la nouvelle matrice D^r obtenue s'écrira toujours sous la forme (en gardant toujours le même sens à la notation en indice r):

$$\null\,\vcenter{\openup1\jot \let\\ =\@ \ialign{\strut\hfil... ..._3^rD_3) \cr & D_n = [\vec{w}_n\otimes\vec{w}_n] \ , \crcr}}\,$$

avec

$$\vec{w}_n = \left( \begin{array}{l} 1-\vec{\nu}_n.\vec{v}_{... ...ec{v}_{3} \\ 1-\vec{\nu}_n.\vec{v}_{4} \\ \end{array}\right)$$

Le rang de la matrice D^r est au plus de trois, pour une matrice de taille p x p et $p \geq 4$.