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I.3.3.4 Etude de l'erreur d'interpolation.

Nous avons: $\forall x_a \in V_h$, $\vert\vert(I-P_h)x\vert\vert \leq \vert\vert x-x_a\vert\vert _V$. La clef de la majoration est de trouver une fonction particulière xa pour laquelle nous avons une ``bonne'' estimation.

Théorème 7   Soit u une solution d'un problème de Helmholtz homogène. Nous supposons que u est de classe Cn+1 avec $n \geq 1$. Soit $x \in V$ vérifiant:

\begin{displaymath}
x_{\vert\partial \Omega_k} = (-\partial \nu_k+i\omega )u_{\vert\partial \Omega_k} \ .
\end{displaymath}

Nous supposons que le maillage $(\Omega_k)_{k =1 \ldots K}$ vérifie les hypothèses d'uniforme régularité (H1, H2 et H3 de la section I.2.1.2). L'espace d'approximation Vh est construit de p=2n+1 fonctions zkl par élément $\Omega _k$ telles que $z_{kl}=(-\partial_{\nu_k}+i\omega ) e_{kl}$ et $(e_{kl})_{l=1 \ldots p}$ soit une famille libre d'ondes planes. Pour les besoins de simplicité de la preuve sur le plan technique, nous supposons que les directions de ces ondes planes sont fixées une fois pour toutes (et par exemple toutes égales d'un élément à un autre). Alors, en notant $[\alpha]$ la partie entière de $\alpha$, on a
(I.3.18) \begin{displaymath}
% latex2html id marker 7997
\left\{
\null\,\vcenter{\openu...
...\displaystyle p-1}{\displaystyle 2}] \ . \cr
\crcr}}\,
\right.
\end{displaymath}

Remarque 24   La constante C dans (I.3.39) dépend de $\omega$. Dans la preuve du théorème 7, nous verrons que l'on peut faire apparaître que $C=\omega^{n+1} \times C^{'}$, mais C' dépend encore de $\omega$ de façon non triviale.


\begin{proof}
% latex2html id marker 8020\hfill \noindent
\par
{\bf a) Etape $...
...'hypoth{\\lq e}se (\ref{equation.h2dordetaylo.007}) de l'{\'e}tape $1$.
\end{proof}

Remarque 25   On peut calculer exactement le déterminant de Mn pour 3 fonctions de base. On remarquera que l'on obtient le déterminant de Sqn et qu'il est maximal pour des fonctions de base équiréparties (annexe III.E.1).

Remarque 26   La preuve du théorème (7) exige l'utilisation d'ondes planes pour extraire un sous-système libre de taille (2n+1) de Mn. Il devrait être possible de généraliser ce résultat à d'autres types de fonctions solutions du problème de Helmholtz homogène sur une maille, à condition qu'elles soient assez régulières, et sous d'autres conditions qu'il faudra exhiber.

Remarque 27   Ce résultat pourrait être établi dans des espaces de Sobolev en estimant directement le reste intégral du développement de Taylor. Nous pensons qu'une estimation directe dans les espaces de Sobolev devrait mener à un résultat plus optimal.


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Cessenat Olivier 2007-04-21