suivant: I.3.3.5 Bilan: majorations de l'ordre de convergence.
monter: I.3.3 Etude théorique de l'ordre de convergence.
précédent: I.3.3.3.2 Estimation sur la frontière de u-uh.
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I.3.3.4 Etude de l'erreur d'interpolation.
Nous avons:
,
. La clef de la majoration est de trouver une fonction particulière xa pour laquelle nous avons une ``bonne'' estimation.
Remarque 24 La constante
C dans (
I.3.39) dépend de
. Dans la preuve du théorème
7, nous verrons que
l'on peut faire apparaître que
, mais
C' dépend encore de
de façon non triviale.
Remarque 25
On peut calculer exactement le déterminant de
Mn pour 3 fonctions de base. On remarquera que l'on obtient le déterminant de
Sqn et qu'il est maximal pour des
fonctions de base équiréparties (annexe
III.E.1).
Remarque 26
La preuve du théorème (
7) exige l'utilisation d'ondes planes pour extraire un sous-système libre de taille (2
n+1) de
Mn.
Il devrait être possible de généraliser ce résultat à d'autres types de fonctions solutions du problème de Helmholtz homogène sur une maille, à condition
qu'elles soient assez régulières, et sous d'autres conditions qu'il faudra exhiber.
Remarque 27
Ce résultat pourrait être établi dans des espaces de Sobolev en estimant directement le reste intégral du développement de Taylor.
Nous pensons qu'une estimation directe dans les espaces de Sobolev devrait mener à un résultat plus optimal.
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Cessenat Olivier
2007-04-21