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I.1.1.2 Résultats classiques.

Rappelons les résultats classiques suivants.

Théorème 1 (Résultat d'existence et d'unicité)  

Soit $\Omega $ un ouvert borné de frontière $\Gamma$ de classe C1. Soit $f \in L^2(\Omega)$ et $g \in H^{1/2}(\Gamma)$. On pose $\zeta = \frac{\displaystyle 1- {{\mathit Q}}}{\displaystyle 1+ {{\mathit Q}}}$ et on suppose ${{\mathit Q}}$ constant, $\vert{{\mathit Q}}\vert < 1$ (alors $\Re{(\zeta)}>0$). Alors, il existe un unique $u \in H^{1}(\Omega)$ tel que

(I.1.1) \begin{displaymath}
\left\{
\null\,\vcenter{\openup\jot \let\\ =\@
\ialign{\str...
...}\int_{\Gamma}{g \, \, \overline{v}} \ . \cr
\crcr}}\,
\right.
\end{displaymath}

Ce problème est la formulation variationnelle de: pour $f \in L^2(\Omega)$ et $g \in H^{1/2}(\Gamma)$, trouver $u \in H^{1}(\Omega)$ unique tel que
(I.1.2) \begin{displaymath}%
\left\{
\null\,\vcenter{\openup\jot \let\\ =\@
\ialign{\st...
... i\omega)u + g & \mbox{ sur } \Gamma \ . \cr
\crcr}}\,
\right.
\end{displaymath}


\begin{proof}
On se rapporte {\\lq a} \cite{Des91}.
\end{proof}

Citons un résultat supplémentaire.

Théorème 2 (Résultat de régularité)   Soit $\Omega $ un ouvert borné de ${\mathbb{R}}^n$ de frontière $\Gamma$. On suppose que $\Gamma$ est une variété indéfiniment différentiable de dimension n-1 et que $\Omega $ est localement d'un seul côté de $\Gamma$. Soit $s \in {\mathbb{R}}, s \geq 2$ et $f \in H^{s-2}(\Omega)$ et $g \in H^{s-3/2}(\Gamma)$. Alors il existe un unique $u \in H^{s}(\Omega)$ solution de :
(I.1.3) \begin{displaymath}%
\left\{
\null\,\vcenter{\openup\jot \let\\ =\@
\ialign{\st...
...i\omega)u = g & \mbox{ sur } \Gamma \ . \cr
\crcr}}\,
\right.
\end{displaymath}

De plus, on a l'estimation suivante
(I.1.4) \begin{displaymath}
\vert\vert u\vert\vert _{H^{s}(\Omega)} \leq C \left\{ \vert...
...a)} + \vert\vert g\vert\vert _{H^{s-3/2}(\Gamma)} \right\} \ .
\end{displaymath}

Enfin, si f=0 l'estimation (I.1.4) reste vraie pour tout s réel.


\begin{proof}
On se rapporte {\\lq a} \cite{LM68} p.$202$\ remarque 7.2.
\end{proof}

Proposition 5 (Un résultat classique d'erreur numérique)   On considère un maillage régulier ([17]) définissant un paramètre de taille de la discrétisation h ``assez petit''. Ce maillage permet la discrétisation par la méthode des éléments finis P1 de la formulation variationnelle (I.1.1). On suppose que la solution u du problème est $H^2(\Omega)$. Alors, il existe C1 et C2 deux constantes strictement positives indépendantes de h telles que
(I.1.5) \begin{displaymath}
\vert\vert u-u_h\vert\vert _{L^2(\Omega)} \le \frac{\display...
...le 1-\omega^2h^2C_2} \vert\vert u\vert\vert _{H^2(\Omega)} \ .
\end{displaymath}


\begin{proof}
% latex2html id marker 4394On se rapporte {\\lq a} \cite{Des93}, \c...
... C^2/\alpha$, on a la relation (\ref{equation.h2dformmodel.003ter}).
\end{proof}

La relation (I.1.5) établit la condition de stabilité $C_2 \omega^2h^2 \le 1$, condition qui se réécrit

(I.1.6) \begin{displaymath}
\frac{\displaystyle \lambda}{\displaystyle h} \ge 2\pi\sqrt{C_2} \ .
\end{displaymath}

Il est connu empiriquement que si $\frac{\displaystyle \lambda}{\displaystyle h} \ge 10 $, alors la condition de stabilité (I.1.7) est vérifiée et la consistance des calculs est suffisante pour obtenir des résultats précis.


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Cessenat Olivier 2007-04-21