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Conclusions et perspectives tirées de l'étude du problème de Helmholtz.
Sur le cas modèle du problème de Helmholtz bidimensionnel, nous avons montré que les propriétés essentielles de notre méthode sont les suivantes.
- La mise en uvre est semblable à celle d'une méthode d'éléments finis. Ceci permet d'appliquer la méthode à des milieux autres que le vide.
- Pour un maillage donné, l'ordre de l'erreur est une fonction linéaire de la taille du système linéaire alors que dans le cas des éléments finis,
l'ordre est en racine carrée de ce nombre.
- Pour un problème continu dont la solution unique est assez régulière, la formulation ultra-faible discrète est toujours inversible, quel que soit le
rapport entre le pas de la discrétisation et la longueur d'onde. Sur plusieurs exemples numériques, nous avons observé une bonne consistance des résultats
pour une discrétisation de taille h de l'ordre de la longueur d'onde .
- La méthode est remarquablement précise. Ceci provient du calcul analytique du système matriciel et de la robustesse de l'algorithme de Richardson
utilisé dans le cadre de la formulation ultra-faible.
Cette première étude nous a donc encouragé à étudier l'utilisation de la formulation pour un autre problème d'ondes en fréquence, le problème
de Maxwell harmonique tridimensionnel dans un milieu à caractéristiques réelles ou complexes. Cette étude fait l'objet de la deuxième partie de ce travail.
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Cessenat Olivier
2007-04-21