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Conclusion et perspectives.
Cette étude a montré la viabilité théorique et numérique de notre méthode pour la résolution des problèmes de Helmholtz ou de Maxwell, en deux ou trois dimensions, avec les avantages
cités dans les conclusions des deux parties de ce travail, pages et . Notons que cette étude pourra être poursuivie
par les points suivants concernant la résolution des problèmes d'ondes harmoniques.
- Analyse de la méthode.
-
- Etendre les lois d'ordre d'erreur sur le bord au domaine entier.
- Compléter les tests numériques de résolution à l'aide de grosses mailles, et effectuer une étude théorique. Ceci permettrait, au moins empiriquement, selon les données du problème et
la taille des mailles, de déterminer le nombre de fonctions de base à utiliser pour une précision demandée. Cette étude n'a été que partiellement réalisée.
- Etudier les problèmes de dispersion numérique.
- Choix de l'espace de discrétisation.
-
- Initier l'utilisation d'informations sur le comportement asymptotique de la solution ([9]) pour discrétiser le problème avec les fonctions de base adéquates.
- En l'absence d'informations sur le comportement asymptotique de la solution pour le problème de Maxwell, rechercher des algorithmes efficaces de choix des directions de propagation et trouver
un critère d'équirépartition pour la méthode.
- Utiliser d'autres fonctions de base que des ondes planes.
- Utiliser un maillage en mailles à faces paraboliques, ou d'ordres plus élevés: ceci permettra de mieux suivre une frontière courbe et donc d'augmenter la taille des
éléments.
- Résolution du système linéaire.
-
- Améliorer la vitesse de convergence de l'algorithme de résolution du système linéaire en étudiant le choix optimal des coefficients de relaxation.
- Diminuer le nombre d'itérations effectuées par l'algorithme de résolution du système linéaire en construisant au préalable une solution proche de la solution discrète.
- Optimiser le nombre d'itérations effectuées en fonction de la précision globale du cas traité, précision naturellement limitée par l'espace de discrétisation.
- Comparer aux techniques itératives classiques: GMRes, Bi-CGStab, QMR...
- Mise en place d'une méthode ``exacte''.
-
- Utiliser des conditions aux limites d'ordre élevé.
- Etudier un couplage avec une méthode intégrale affranchie des problèmes de longueur d'onde: ceci permettrait d'entrer véritablement en compétition avec les méthodes hybrides éléments
finis, équations intégrales.
Notons que la formulation proposée est également applicable à une classe très large d'équations aux dérivées partielles (cf [27]), ce qui pourrait aussi faire l'objet d'un travail ultérieur.
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Cessenat Olivier
2007-04-21