III.E.3 Problème de Maxwell tridimensionnel.

Rappelons que h désigne le paramètre de taille du maillage. Dans toute cette partie, dès que cela est possible, nous omettrons de noter l'indice k de la maille de travail $\Omega _k$. Nous utiliserons les notations de la section III.E.2 à la différence que les notations réduites ne sont plus issues des termes géométriques divisés par $(h\omega^2)^2$ mais par h².

Théorème 23   Soit la matrice limite ${{\mathcal{D}}}$ construite à l'aide des sous-blocs D_k de D par

$$% {{\mathcal{D}}}=\lim_{h \to 0}{\frac{\displaystyle D_k}{\displaystyle h}} \$$ (III.E.34)

1. Le terme ${{\mathcal{D}}}^{l,m}$ de la matrice limite ${{\mathcal{D}}}$, pour l et m variant de 1 à p fonctions de base, est la matrice de produit scalaire
   

   $$% {{\mathcal{D}}}^{l,m} = \sum_{n=1}^{4} \frac{\displaystyle ... ...verline{{{\mathcal{Z}}}}_{k,l}^0 \mbox{ o\\lq u } j = j (k,n) \ ,$$ (III.E.35)

   
   
   où ${{\mathcal{Z}}}_{k,m}^0$ est donné par (III.B.19 p. ).
2. Le déterminant de la matrice limite pour strictement plus de six fonctions de base est nul.
3. Pour six fonctions [<I>E_m^',<I>H_m^'] ondes planes définissant les fonctions de base du problème variationnel, le déterminant de ${{\mathcal{D}}}$ est proportionnel au carré du déterminant de la matrice dont la colonne d'indice m est le vecteur [<I>E_m^',<I>H_m^']. La constante ne dépend que des caractéristiques géométriques de l'élément $\Omega _k$ (non nécessairement polygonal) et des coefficients de face $\varepsilon$ et $\mu$. On note $\vert{{\mathcal{D}}}\vert$ le déterminant de ${{\mathcal{D}}}$. Il existe C un facteur ne dépendant que de la géométrie du problème, indépendant du choix des fonctions [<I>E_m^',<I>H_m^'], tel que
   
   $$\vert{{\mathcal{D}}}\vert = C \vert({{\mathbf E}}_{m}^{'},{{\mathbf H}}_{m}^{'})_{m=1\ldots 6}\vert^2 \ .$$
   
   

4. Dans le cas de coefficients $\varepsilon$ et $\mu$ constants réels sur $\Omega _k$ et ses quatre voisins, et pour trois fonctions de base de type <I>F (données par les ondes planes de la forme <I>E^<I>F_k,l (II.8.22)) numérotées de 1 à 3 et trois fonctions de base de type <I>G (données par les ondes planes de la forme <I>E^<I>G_k,l (II.8.23)) numérotées de 4 à 6 (se reporter à la définition des fonctions de base ${{\mathcal{Z}}}_{k,l}$ II.8.29 p. ), il existe C un facteur ne dépendant que de la géométrie du problème, indépendant du choix des fonctions <I>F_k,l (II.8.21 p. ), tel que le déterminant de ${{\mathcal{D}}}$ soit égal à
   
   $$\vert{{\mathcal{D}}}\vert = C \vert({{\mathbf F}}_{k,l})_{l=1\ldots 3}\vert^4 \ .$$
   
   
   Le déterminant de ${{\mathcal{D}}}$ est maximal pour des fonctions de base aux directions de propagation V_k,l (II.8.20) équiréparties (dans un plan puisqu'il n'y en a que trois).

Nous avons essayé de suivre la même logique de démonstration que pour le problème de Helmholtz tridimensionnel. Nous n'avons pas pu cependant calculer le déterminant, nous avons réussi à montrer sa proportionnalité à un facteur que l'on sait estimer. Les preuves sont moins techniques que dans l'étude du problème de Helmholtz.