I.2.2.1 Choix de V_h.

Nous avons choisi de construire notre espace d'approximation à partir :

i)

D'une partition de $\Omega$ en éléments triangulaires réguliers. La terminologie "éléments réguliers" signifie que le maillage vérifie les hypothèses H1, H2 et H3. L'intérêt est bien sûr que cette partition se réalise aisément à l'aide d'un mailleur.

ii)

De fonctions de base construites à l'aide d'ondes planes sur $\Omega _k$ de la forme

$$\left\{ \null\,\vcenter{\openup\jot \let\\ =\@ \ialign{\str... ...tarrow \vec{v}_{kl} \ne \vec{v}_{km} \ . \cr \crcr}}\, \right.$$ (I.2.21)

iii)

En outre, lors des simulations numériques, les vecteurs d'onde de ces ondes planes ont été choisis réels équirépartis dans le plan :

$$\forall k \in \{1\ldots K\}, \ \vec{v}_{kl, \ l=1 \ldots p} ... ...c{\displaystyle l-1}{\displaystyle p})} \crcr}}\, \right) \ ,$$ (I.2.22)

et identiques sur tous les éléments^I.21. Cela donne par exemple pour trois et sept fonctions de base par élément, la disposition de la figure I.2.2.

Figure I.2.2: Répartition géométrique des directions des fonctions de base.

Pour 3 fonctions par élément	Pour 7 fonctions par élément

Lemme 4   Les fonctions $\{z_{kl}\}_{1 \leq l \leq p}$ définies par $z_{kl}=(-\partial_{\nu_k}+i\omega ) e_{kl}$ avec e_kl vérifiant (I.2.28) forment une base de V_h.

Remarque 7 (Choix du maillage)   Le choix d'un maillage triangulaire n'est absolument pas obligatoire. Nous aurions aussi pu prendre un maillage quadrangulaire ou mixte. C'est seulement pour la simplicité de la mise en uvre informatique que ce choix a été fixé; un autre choix n'implique rien de fondamentalement différent. De même, c'est pour la simplicité de la mise en uvre informatique que nous avons choisi un nombre constant de fonctions de base.

Remarque 8 (Choix des fonctions de base)   Le choix de fonctions de base issues d'ondes planes est justifié par le fait que le calcul des termes des matrices est analytique.

Le choix de directions équiréparties pour les vecteurs d'onde des ondes planes est le choix le plus simple quand on ne connaît pas la forme de la solution. Par exemple, si l'on étudie la diffraction sur un dièdre infini d'une onde plane incidente, il est clair qu'introduire l'onde incidente et l'onde diffractée dans l'espace des fonctions de base donnera un excellent résultat. L'utilisation d'informations sur le comportement asymptotique pour le choix des fonctions de base est une voie judicieuse pour améliorer les études de diffraction. Pour effectuer une telle étude nous conseillons de se reporter à [9] qui étudie en détail avec une approche à la fois physique et mathématique les comportements asymptotiques de la propagation d'onde.

Un autre choix de directions des ondes planes est de choisir les normales aux triangles. Nous avons comparé sur des cas tests un tel choix avec celui où les fonctions de base sont équiréparties et nous avons constaté un meilleur résultat dans le second cas (surtout lorsque le maillage n'est pas très régulier). Nous avons enfin deux justifications supplémentaires de l'emploi a priori de directions équiréparties.

1. Le coût de détermination des directions est mineur et permet d'avoir des fonctions de base égales sur tous les éléments. Ceci permet d'économiser le stockage des fonctions de base et le stockage de K_int x p² termes matriciels où K_int est le nombre d'éléments intérieurs (éléments n'ayant pas d'arête libre) et où p est le nombre de fonctions de base par élément. Ceci est issu de propriétés particulières liant les matrices D et C lorsque les fonctions de base sont les mêmes sur tous les éléments.
2. Nous montrons que le choix de fonctions de bases équiréparties maximise le déterminant des matrices D_k quand le paramètre de raffinement du maillage tend vers 0 et quand on prend p=3 fonctions de base par élément. Ceci permet alors une meilleure majoration du conditionnement. On observe que l'optimisation du déterminant s'effectue en deux temps, la première étape permettant de séparer les facteurs géométriques de l'élément des facteurs dépendant des directions des fonctions de base. Ceci montre que le choix des normales aux arêtes du maillage dans ce cas n'est pas le meilleur.