I.3.3.5 Bilan: majorations de l'ordre de convergence.

Voici nos principaux résultats concernant l'ordre de convergence. Ces résultats sont de simples conséquences du théorème 7.

Remarque 28   Dans la démonstration du théorème 7, le fait que u est solution d'un problème homogène est essentiel. Cependant, dans le cas n=1, le résultat est encore vrai pour u solution d'un problème de Helmholtz non homogène. En effet, on a p=2n+1=3=(n+2)(n+1)/2 fonctions de base. L'espace vectoriel K (I.3.54) est de dimension 3 car $\frac{\displaystyle n(n-1)}{\displaystyle 2}=0$. Pour tout $p \geq 3$, x défini par (I.0.3) et u la solution du problème de Helmholtz homogène ou non homogène (I.0.1), on a:

$$\vert\vert(I-P_h)x\vert\vert _V \leq C h^{1/2} \vert\vert u\vert\vert _{C^{2}(\Omega)} \ .$$ (I.3.19)

D'autre part, d'après le théorème 7 et le lemme 9, on a le

Corollaire 4   Supposons que les fonctions de base vérifient les hypothèses du théorème 7. Soit u une solution de (I.0.1) homogène (f=0), x la solution de (I.1.27) et $x_h \in V_h$ la solution de (I.2.1) pour $p \geq 3$ fonctions de base par élément. Soit $[\alpha]$ la partie entière de $\alpha$. Nous supposons que u est de classe $C^{[(p+1)/2]}(\Omega)$, alors:

$$\left\{ \null\,\vcenter{\openup\jot \let\\ =\@ \ialign{\st... ...u\vert\vert _{C^{[(p+1)/2]}(\Omega)} \ , \cr \crcr}}\, \right.$$ (I.3.20)

Par exemple p=3 ou p=4 donne h^1/2.

Ces estimations ne sont pas optimales puisque pour p=3 nous avons observé numériquement h^3/2. Pour u approché par (I.2.27), on a même obtenu une loi en h².

Corollaire 5   Supposons que les fonctions de base vérifient les hypothèses du théorème 7. Soit u une solution de (I.0.1) non homogène (f n'est pas nécessairement identiquement nulle sur $L^2(\Omega)$), x défini par (I.1.27) et $x_h \in V_h$ la solution de (I.2.1) avec $p \geq 3$ fonctions de base par élément. Soit $[\alpha]$ la partie entière de $\alpha$. Nous supposons que u est de classe $C^{2}(\Omega)$, alors:

$$% \forall s > [(p-1)/2]-1/2 \left\{ \null\,\vcenter{\openup\j... ... \vert\vert u\vert\vert _{C^{2}(\Omega)} \cr \crcr}}\, \right.$$ (I.3.21)

Par exemple p=3 ou p=4 donne h¹. D'après la relation (I.3.36), nous obtenons la même loi de convergence sur $\vert\vert u-u_h\vert\vert _{H^{-s}(\Gamma)}$.