II.7.2.2 Relation vérifiée par la solution des équations de Maxwell.

Dans toute cette étude du problème de Maxwell (1 p. ), nous ferons l'hypothèse H4 de régularité des champs (<I>E,<I>H).

Hypothèse 4   On utilise la partition du domaine $\Omega$ de sorte que $\varepsilon$ et $\mu$ sont constants sur tout élément $\Omega _k$. Soit (<I>E,<I>H) une solution du problème de Maxwell (1 p. ) à coefficients constants par morceaux qui vérifie l'hypothèse de régularité $({{\mathbf E}},{{\mathbf H}}) \in ({{\mathcal{H}}}(\Omega,\Gamma))^2$. L'espace ${{\mathcal{H}}}(\Omega,\Gamma)$ est donc l'espace des fonctions $\tilde{\mathcal H}$ (II.7.24) sur tous les sous-domaines de $\Omega$ où $\varepsilon$ et $\mu$ sont constants et des fonctions vérifiant les relations de continuité des traces tangentielles des champs (II.7.19).

Sous l'hypothèse H4 ci-dessus, nous pouvons définir une nouvelle inconnue notée ${{\mathcal{X}}}$.

Définition 7   On définit ${{\mathcal{X}}}$ par ses restrictions ${{\mathcal{X}}}_k= ({{\mathcal{X}}})_{\vert\partial \Omega_k}$ sur $\partial \Omega_k$ et ses restrictions sur $\Sigma_{k,j}$ (j=j(k) désigne l'indice d'un voisin $\Omega_j$ à $\Omega _k$):

$$({{\mathcal{X}}}_k)_{\vert\Sigma_{k,j}} = +\sqrt{\varepsilon ... ...u_{kj}}(({{\mathbf H}}_{k} \wedge \nu_{k}) \wedge \nu_{k}) \ ,$$

où $\sqrt{\varepsilon _{kj}}$ est défini par (II.7.60). Sous l'hypothèse 4, on a bien ${{\mathcal{X}}}_k\in L^2_t(\partial \Omega_k)$ et ${{\mathcal{X}}}\in V$.

Notation 3   On indice par k les quantités relatives à un élément $\Omega _k$. En particulier, nous notons ${{\mathcal{X}}}_k$ les restrictions de ${{\mathcal{X}}}$ à $\partial \Omega_k = {\displaystyle \bigcup_{j(k)} \Sigma_{kj}}$ vues de $\Omega _k$ vers $\Omega_j$. Nous notons aussi ${{\mathbf E}}_k = ({{\mathbf E}})_{\vert\Omega_k}$.

Théorème 13   On suppose que l'hypothèse 4 est vérifiée. Alors, pour tout (<I>E^',<I>H^') dont les restrictions $({{\mathbf E}^{'}}_{k},{{\mathbf H}^{'}}_{k}) \in ({\tilde{{\mathcal{H}}}}(\Omega_k,\partial \Omega_k))^2$ vérifient

$$\left\{ \null\,\vcenter{\openup\jot \let\\ =\@ \ialign{\str... ...nu_{k}) \in L^2_t(\partial \Omega_k) \ , \cr \crcr}}\, \right.$$ (II.7.55)

on a,

$$\null\,\vcenter{\openup\jot \let\\ =\@ \ialign{\strut\hfil$... ... \wedge \nu_{k}) \wedge \nu_{k})} \right) }} \ . \cr \crcr}}\,$$ (II.7.56)

Remarque 34   La relation (II.7.69) s'écrit aussi sous la forme

$$\null\,\vcenter{\openup\jot \let\\ =\@ \ialign{\strut\hfil$... ...{k} \wedge \nu_{k}) \wedge \nu_{k})} \right) \ . \cr \crcr}}\,$$ (II.7.57)