I.4.3 Vitesse de convergence de l'algorithme itératif.

Nous observons la vitesse de convergence de l'algorithme itératif sur le cas test de la propagation libre dans un cube décrit section I.3.2 avec les données du tableau I.4.4. Cette simulation est motivée par la forte dépendance du temps total de calcul du code par rapport au nombre d'itérations effectuées par l'algorithme itératif (I.2.31) de résolution du système linéaire (cf annexe III.C.4).

Tableau I.4.4: Etude de la convergence de l'algorithme

Variable	Valeur
f	0
g	cf équation (I.3.6)
${{\mathit Q}}$	0
$\vec{v}_0$	( 1.009946454058 , i x 0.1413925035682 )
$\omega$	4.188786015996
p	5
discrétisation	$\frac{\displaystyle \lambda}{\displaystyle 5}$

Nous étudions (figures I.4.16 et I.4.17) les évolutions de différents critères en fonction du nombre d'itérations effectuées.

Figure I.4.16: Evolution de normes entre deux itérations

$(\alpha)$ Normes d'espaces fonctionnels.	$(\beta)$ Normes de vecteurs.

1. Normes relatives sur $\Gamma$ et $\Omega$ dans les espaces V et L² de la différence entre les solutions numériques respectivement x_h et u_h aux itérations n et n+1, figure I.4.16 $(\alpha)$.
2. Normes relatives dans $L^2({\mathbb{C}}^{pK})$ des vecteurs solutions X aux itérations n et n+1, de DX, de (I-M)X-b et de (D-C)X-b, figure I.4.16 $(\beta)$.
3. Mêmes mesures qu'au point 1 mais sur (x-x_h) et (u-u_h), figure I.4.17.

Figure I.4.17: Evolution de normes d'erreur en fonction du nombre d'itérations.

Nous constatons qu'il y a un nombre optimal d'itérations à effectuer pour atteindre la précision maximale possible pour une discrétisation donnée. En l'occurrence, après 200 itérations la solution approchée n'évolue plus guère par rapport à la solution exacte. Nous observons aussi qu'en l'absence de connaissance de la solution exacte il serait difficile de savoir quand stopper les itérations.