I.2.3.2 Construction d'un algorithme itératif.

Le système (I.2.17) se met sous la forme (I.2.37) où M est défini par (I.2.31):

(I.2.26) (I-M) X = b^'

Nous terminons la résolution du système (I.2.37) par un développement en série de Neumann de (I-M). Si un tel développement ne converge pas forcément pour tout opérateur continu de norme inférieure à 1, il converge pour l'opérateur discret associé: ceci sera montré par le lemme 7. Notons que cette preuve est aussi effectuée par [51] dans le cadre plus général des matrices non hermitiennes sous des conditions générales sur le spectre de la matrice. Nous proposons deux versions algorithmiques de schéma itératif, pour une sous-relaxation constante ou non.

i)

Soit $\beta \in {]}0,5;1{[}$ fixe, l'algorithme est:

$$\left\{ \null\,\vcenter{\openup\jot \let\\ =\@ \ialign{\str... ...b{'} + [(1-\beta) I + \beta M] X_{n} \ . \cr \crcr}}\, \right.$$ (I.2.27)

ii)

Soit $\beta_n \in {]}0,5;1-\varepsilon{[}, \ \varepsilon>0$ suite de nombres aléatoires, l'algorithme est:

$$\beta_n \in ]0,5;1-\varepsilon[, \ \varepsilon>0 \left\{ \nu... ... + [(1-\beta_n) I + \beta_n M] X_{n} \ . \cr \crcr}}\, \right.$$ (I.2.28)

Remarque 9   C'est le second algorithme (I.2.31) que nous avons le plus utilisé. Nous avons pris les coefficients $\beta_n$ répartis selon une loi aléatoire uniforme entre 0,5 et 0,99. On constate en effet qu'avec environ 10 ou $20 \%$ d'itérations en moins, on obtient une précision égale à celle obtenue par le premier algorithme (I.2.38).

Remarque 10   Le lecteur notera que l'algorithme (I.2.39) utilise des coefficients de relaxation non cycliques. Il serait intéressant d'étudier d'autres choix des termes de relaxation $\beta_{n}$ de façon à diminuer encore le nombre d'itérations [51]. Nous n'avons pas mené cette étude qui serait à faire pour optimiser le coût calcul de la méthode.

Remarque 11   La génération de nombres aléatoires $\beta_n$ est faite d'après une méthode proposée par Knuth dont l'avantage est d'être de période quasi infinie, et d'avoir une faible corrélation séquentielle (cf [53], Ch 7, p.196 fonction RAN1). L'avantage de la programmation de cette fonction est sa portabilité d'un système informatique à un autre.

Lemme 7   Les algorithmes (I.2.38) et (I.2.39) convergent vers X, la solution de (D-C)X = b.