I.5.1.2 Nouvelle formulation variationnelle.

Théorème 9   Soit u une solution du problème de Helmholtz (I.5.1) qui vérifie l'hypothèse de régularité $-{\nu_k }^{\top} \mu \mathop{{\mathbf {\nabla }}}\nolimits u \in L^2(\partial \Omega_k)$ pour tout k. Alors, pour tout $e_k \in L^2(\Omega_k)$ tel que, pour $\sigma$ un réel positif quelconque,

$$\left\{ \null\,\vcenter{\openup\jot \let\\ =\@ \ialign{\str... ...\Omega_k} \in L^2(\partial \Omega_k) \ , \cr \crcr}}\, \right.$$ (I.5.7)

on a:

$$\null\,\vcenter{\openup\jot \let\\ =\@ \ialign{\strut\hfil$... ...a }}}\nolimits e_k + i\omega \sigma e_k}) }} \ . \cr \crcr}}\,$$ (I.5.8)

Comme pour le problème sans coefficient, nous définissons les opérateurs E, F, $\Pi$ et A.

Définition 5  

$$% \null\,\vcenter{\openup1\jot \let\\ =\@ \ialign{\strut\hfi... ...0 & \mbox{ dans } \Omega_k \ . \crcr}}\, \right. \crcr}}\,$$ (I.5.9)

$$%\label{equation.d3dformduwvf.021} \null\,\vcenter{\openup1\... ...{\vert\partial \Omega_k})_k \ . \crcr}}\, \right. \crcr}}\,$$ (I.5.10)

Considérant une fonction complexe ${{\mathit Q}}$ définie sur $\Gamma$ vérifiant $\vert{{\mathit Q}}\vert \leq 1$, définissons l'opérateur $\Pi$ par:

$$\null\,\vcenter{\openup1\jot \let\\ =\@ \ialign{\strut\hfi... ...}}z _{\vert _{\Gamma_k}} \ \ . \crcr}}\, \right. \crcr}}\,$$ (I.5.11)

Notons F^* l'adjoint de F. Définissons l'opérateur A de V dans V par

$$% A = F^* \Pi \ .$$ (I.5.12)

On a de la même façon que pour le problème sans coefficient le théorème d'existence et d'unicité suivant. Les arguments des preuves sont identiques.

Théorème 10   [a) ] Trouver x solution de (I.1.8) est équivalent à

$$\left\{ \null\,\vcenter{\openup\jot \let\\ =\@ \ialign{\str... ...\cr & (x,y)_V-(\Pi x,Fy)_V = (b,y)_V \ . \cr \crcr}}\, \right.$$ (I.5.13)

où le second membre $b \in V$ est défini, via le théorème de représentation de Riesz, par:

$$%\label{equation.d3dformduwvf.029} \null\,\vcenter{\openup\jo... ...\Gamma_k}{g \, \overline{F(y)}_{\Gamma_k} }} \ . \cr \crcr}}\,$$ (I.5.14)

[b) ] Si u est solution du problème de Helmholtz (I.5.1) alors $x=(-{\nu_k }^{\top} \mu \mathop{{\mathbf {\nabla }}}\nolimits u +i\omega \sigma u)$ est solution de (I.5.19) sous l'hypothèse de régularité $x \in V$. [c) ] Réciproquement, si x est solution de (I.5.19) alors u=E_f(x) est l'unique solution de (I.5.1). Le problème (I.5.19) est équivalent à:

$$\left\{ \null\,\vcenter{\openup\jot \let\\ =\@ \ialign{\str... ...uver } x \in V \cr & \fbox{$(I-A)x = b$} \cr \crcr}}\, \right.$$ (I.5.15)