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I.5.1.2 Nouvelle formulation variationnelle.

Théorème 9   Soit u une solution du problème de Helmholtz (I.5.1) qui vérifie l'hypothèse de régularité $-{\nu_k }^{\top} \mu \mathop{{\mathbf {\nabla }}}\nolimits u \in L^2(\partial \Omega_k)$ pour tout k. Alors, pour tout $e_k \in L^2(\Omega_k)$ tel que, pour $\sigma$ un réel positif quelconque,
(I.5.7) \begin{displaymath}
\left\{
\null\,\vcenter{\openup\jot \let\\ =\@
\ialign{\str...
...\Omega_k} \in L^2(\partial \Omega_k) \ , \cr
\crcr}}\,
\right.
\end{displaymath}

on a:
(I.5.8) \begin{displaymath}
\null\,\vcenter{\openup\jot \let\\ =\@
\ialign{\strut\hfil$...
...a }}}\nolimits e_k + i\omega \sigma e_k}) }} \ . \cr
\crcr}}\,
\end{displaymath}


\begin{proof}
% latex2html id marker 9953En d{\'e}veloppant le premier terme d...
... imm{\'e}diatement l'{\'e}quation (\ref{equation.d3dformduwvf.005}).
\end{proof}

Comme pour le problème sans coefficient, nous définissons les opérateurs E, F, $\Pi$ et A.

Définition 5  
(I.5.9) \begin{displaymath}%
\null\,\vcenter{\openup1\jot \let\\ =\@
\ialign{\strut\hfi...
...0 & \mbox{ dans } \Omega_k \ .
\crcr}}\,
\right.
\crcr}}\,
\end{displaymath}


(I.5.10) \begin{displaymath}%\label{equation.d3dformduwvf.021}
\null\,\vcenter{\openup1\...
...{\vert\partial \Omega_k})_k \ .
\crcr}}\,
\right.
\crcr}}\,
\end{displaymath}

Considérant une fonction complexe ${{\mathit Q}}$ définie sur $\Gamma$ vérifiant $\vert{{\mathit Q}}\vert \leq 1$, définissons l'opérateur $\Pi$ par:
(I.5.11) \begin{displaymath}
\null\,\vcenter{\openup1\jot \let\\ =\@
\ialign{\strut\hfi...
...}}z _{\vert _{\Gamma_k}} \ \ .
\crcr}}\,
\right.
\crcr}}\,
\end{displaymath}

Notons F* l'adjoint de F. Définissons l'opérateur A de V dans V par
(I.5.12) \begin{displaymath}%
A = F^* \Pi \ .
\end{displaymath}

On a de la même façon que pour le problème sans coefficient le théorème d'existence et d'unicité suivant. Les arguments des preuves sont identiques.

Théorème 10   [a) ] Trouver x solution de (I.1.8) est équivalent à
(I.5.13) \begin{displaymath}
\left\{
\null\,\vcenter{\openup\jot \let\\ =\@
\ialign{\str...
...\cr
& (x,y)_V-(\Pi x,Fy)_V = (b,y)_V \ . \cr
\crcr}}\,
\right.
\end{displaymath}

où le second membre $b \in V$ est défini, via le théorème de représentation de Riesz, par:
(I.5.14) \begin{displaymath}%\label{equation.d3dformduwvf.029}
\null\,\vcenter{\openup\jo...
...\Gamma_k}{g \, \overline{F(y)}_{\Gamma_k} }} \ . \cr
\crcr}}\,
\end{displaymath}

[b) ] Si u est solution du problème de Helmholtz (I.5.1) alors $x=(-{\nu_k }^{\top} \mu \mathop{{\mathbf {\nabla }}}\nolimits u +i\omega \sigma u)$ est solution de (I.5.19) sous l'hypothèse de régularité $x \in V$. [c) ] Réciproquement, si x est solution de (I.5.19) alors u=Ef(x) est l'unique solution de (I.5.1). Le problème (I.5.19) est équivalent à:
(I.5.15) \begin{displaymath}
\left\{
\null\,\vcenter{\openup\jot \let\\ =\@
\ialign{\str...
...uver } x \in V \cr
& \fbox{$(I-A)x = b$} \cr
\crcr}}\,
\right.
\end{displaymath}


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Cessenat Olivier 2007-04-21