I.4.1.1 Cas d'une source d'énergie ponctuelle.

Cet exemple teste le comportement de notre formulation vis-à-vis de conditions très singulières sur le second membre f.

Figure I.4.1: Partie imaginaire de u.

Visualisation aux n uds,	visualisation sur une grille fine.

Nous représentons, figure I.4.1, la partie imaginaire de la solution u au problème de Helmholtz avec $f=\delta$ (la fonction Dirac) et des conditions aux limites absorbantes d'ordre zéro ( ${{\mathit Q}}=0,g=0$) sur le bord $\Gamma$ (nous donnons les caractéristiques précises de ce cas dans le tableau I.4.1).

Tableau I.4.1: Domaine connexe, Dirac

Variables	Valeurs
$({{\mathit Q}},g)$	(0,0)
$f=\delta$ en	(0.512443,0.4926793)
$\omega$	$4\pi$
$\lambda$	0.5
1/h	29.899832775
(h,p)	$(\frac{\displaystyle \lambda}{\displaystyle 15}, 5)$

Nous donnons deux représentations graphiques de la partie imaginaire de u.

i) Représentation de u aux nuds du maillage utilisé pour le calcul.

On calcule u_h à l'aide de la formule (I.2.23 p. ) et en effectuant une moyenne des valeurs de $(u_h)_{\vert\Sigma_{kj}}$ et $(u_h)_{\vert\Gamma_{k}}$ à chaque nud.

ii) Représentation de u sur une grille plus fine.

On calcule u_h par la formule (I.2.27 p. ) sur une grille plus fine que celle du maillage. Le pas de cette grille de représentation graphique est de $\lambda /30$ (2 fois plus fin que le maillage de calcul). Ce calcul est justifié dans toutes les mailles du domaine où $f_{\vert\Omega_k} = 0$ sauf celle dans laquelle se trouve le Dirac.

On obtient par ii) une représentation plus fine pour toutes les mailles sauf une. Le cas i) est alors préférable sur cette maille. Ceci est une bonne illustration de l'intérêt de la formule (I.2.27) et de ses limitations.

On constate que, au point où se trouve le Dirac, la partie imaginaire de la solution approchée vaut approximativement -1/4. Cette valeur est celle de la partie imaginaire de la fonction de Hänkel, solution du problème posé dans tout l'espace (avec les conditions de radiation de Sommerfeld).