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I.3.2.3 Calculs d'ordre dans le cas homogène: f=0.

La condition aux limites g est:

(I.3.6) \begin{displaymath}
g= ((1+ {{\mathit Q}})\partial_\nu + (1- {{\mathit Q}})i\omega ) e^{(i\omega \vec{v}_0.\vec{x})} \ ,
\end{displaymath}

avec $\vec{v}_0=(v_0^1,v_0^2)$ vérifiant (v01)2+(v02)2 = 1. La solution exacte est $e^{(i\omega \vec{v}_0.\vec{x})}$. Les autres données du problème sont dans le tableau I.3.3: la fréquence de calcul est de 600 MHz ($\omega=4\pi$).


Tableau I.3.3: Paramètres du cas homogène
Variables Valeur
f 0
${{\mathit Q}}$ 0.1
$\vec{v}_0$ ( 1.009946454058 , i x 0.1413925035682)
$\omega$ 12.56637061436 ($\lambda=0,5$ m)

Nous évaluons l'évolution de l'ordre de convergence pour un maillage structuré et un maillage non structuré en fonction du nombre de fonctions de base. La norme est la norme d'erreur relative sur u -Figures I.3.4 et I.3.5.

Figure I.3.4: Cas f=0, ordres sur u, approché par (I.2.27).
\includegraphics[width=0.48\textwidth,height=0.36\textwidth]{penfua1.ps} \includegraphics[width=0.48\textwidth,height=0.36\textwidth]{penfua2.ps}
Norme $L^2(\Omega)$ Norme $ L^2 ( \Gamma) $

Pour p=3 fonctions de base par élément, on observe, figure I.3.4, que

(I.3.7) \begin{displaymath}%
\null\,\vcenter{\openup\jot \let\\ =\@
\ialign{\strut\hfil...
...t\Gamma}\vert\vert _{L^2(\Gamma)} \leq C h^2 \ . \cr
\crcr}}\,
\end{displaymath}

L'estimation dans $L^2(\Omega)$ semble optimale au sens que trois fonctions de base permettent d'approcher les termes d'ordre zéro et le gradient de la solution de façon à ce que uh approche u en O(h2). L'estimation dans $ L^2 ( \Gamma) $ est meilleure que celle que l'on attendrait d'après les théorèmes de trace (perte de 1/2 sur l'ordre par rapport à l'estimation dans $L^2(\Omega)$).

Remarque 16   L'approximation (I.2.27) de u est meilleure que celle donnée par (I.2.23): on observe un décalage de 1/2 de l'ordre de convergence entre les deux types d'approximation: la formule (I.2.23) donne la même loi d'ordre que celles des courbes I.3.5.

Figure I.3.5: Cas f=0, ordres sur x.
\includegraphics[width=0.48\textwidth,height=0.36\textwidth]{penfub1.ps} \includegraphics[width=0.48\textwidth,height=0.36\textwidth]{penfub2.ps}
Norme sur V Norme $ L^2 ( \Gamma) $


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Cessenat Olivier 2007-04-21