I.3.2 Etude numérique de l'ordre de convergence.

Nous nous sommes intéressés aux deux domaines $\Omega$ de la figure I.3.2

Figure I.3.2: Types de domaines $\Omega$.

a) Domaine connexe	b) Domaine non simplement connexe

Afin de pouvoir estimer aisément la différence entre la solution exacte u du problème de Helmholtz et la solution approchée, nous nous sommes donné une solution exacte simple sous la forme d'une onde plane de direction complexe $\vec{v}_0$. En notant $\vec{x}=(x_1,x_2)$ la position dans le plan, la solution de référence est donnée par^I.31

$$% \null\,\vcenter{\openup\jot \let\\ =\@ \ialign{\strut\hfil... ...{x}} & \mbox{ avec } \vec{v}_0=(v_0^1,v_0^2) \ . \cr \crcr}}\,$$ (I.3.1)

Ce type de solution, selon les valeurs de $\vec{v}_0$ donne lieu à deux problèmes dont on calcule simplement le second membre (avec des conditions aux limites précisées aux paragraphes I.3.2.3 et I.3.2.4):

i)

pour (v₀¹)²+(v₀²)² =1, on a $(-\Delta-\omega^2)u=0$, c'est-à-dire f=0 (problème de Helmholtz homogène),

ii)

pour $(v_0^1)^2+(v_0^2)^2 \ne 1$, on a $(-\Delta-\omega^2)u \ne 0$, c'est-à-dire $f\ne 0$ (problème de Helmholtz non homogène).