II.9.3 Etude du conditionnement.

Supposons que les p=(N+1)(N+3) directions de propagation des fonctions de base ($p \geq 4$) vérifient les hypothèses du théorème 17. Supposons aussi que l'élément $\Omega _k$ et tous ses voisins sont dans le vide. Nous avons vu que le conditionnement de la matrice D_k de couplage hermitien des fonctions de base sur l'élément $\Omega _k$ ne dépend pas du choix des polarisations (proposition 14). En outre, nous savons que pour trois directions distinctes le conditionnement de D_k est non nul (annexe III.E.3).

Sous ces hypothèses, nous avons en plus le résultat énoncé dans le théorème suivant.

Théorème 18   Nous supposons que le milieu présent dans l'élément $\Omega _k$ et dans tous ses voisins est occupé par le vide. Soient p=(N+1)(N+3)+1 directions de propagation ($p \geq 4$) vérifiant les hypothèses du théorème 17. Soit h_k le diamètre de $\Omega _k$ et $[\alpha]$ la partie entière de $\alpha$. Il existe C positif tel que le conditionnement K(D_k) de D_k est minoré par la loi

$$K(D_k)=\frac{\displaystyle \lambda_{\max}}{\displaystyle \lambda_{\min}} \geq C h_k^{-(2[\sqrt{p}]-2)} \ .$$ (II.9.57)

Par exemple, on peut choisir p directions, $p\in [4,8]$, telles que le conditionnement de la matrice D_k soit supérieur à h_k^-1.