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II.7.2 La formulation ultra-faible et ses propriétés.

Le but de cette section est de présenter la formulation variationnelle ultra-faible appliquée aux problèmes d'électromagnétisme, de démontrer l'existence et l'unicité de la solution et l'équivalence entre notre formulation et la formulation classique. Le plan de travail est donc le suivant.

  1. Obtention de la formulation en montrant qu'une solution du problème de Maxwell vérifie la formulation ultra-faible. C'est l'objet du théorème 13.
  2. Inversement, on montre l'existence d'une solution de la formulation ultra-faible et que l'on obtient les champs électrique et magnétique par un opérateur de relèvement (théorème 14).
  3. Les deux points précédents montrent l'existence et l'unicité du problème ultra-faible et l'équivalence avec la formulation classique. Nous définissons les opérateurs de notre formulation et nous étudions leurs propriétés. Le résultat fondamental (section II.7.2.6) est la décomposition de l'opérateur de la formulation en l'identité moins un opérateur de norme inférieure à 1.



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Cessenat Olivier 2007-04-21