III.E.2 Problème de Helmholtz tridimensionnel.

On s'intéresse au cas asymptotique $h \rightarrow 0$ et p=4 pour le problème de Helmholtz tridimensionnel dans le vide.

Théorème 20  

On introduit la matrice limite D^r définie par

$$% D^r=\lim_{h \to 0}{\frac{\displaystyle D}{\displaystyle h\omega^2}} \ ,$$ (III.E.11)

ainsi que les quantités réduites indexées (S^r,V^r,S₁^r,S₂^r,S₃^r,S₄^r) qui sont obtenues des précédentes en divisant par $(h\omega^2)^2$ sauf V^r où l'on divise par $(h\omega^2)^3$. Alors:

1. la matrice D^r est inversible,
2. des ondes planes équiréparties maximisent le déterminant de D^r et il vaut alors
   

   $$% \mbox{\fbox{$\mbox{det} D^r = 12 \omega^8 \frac{\displaystyle S_r^2V_r^4}{\displaystyle S_1^rS_2^rS_3^rS_4^r} $}} \ \ ,$$ (III.E.12)

   
   

3. la majoration du conditionnement à partir du déterminant est maximale pour des ondes planes équiréparties et on majore le conditionnement de D par
   

   $$% \frac{\displaystyle \lambda_{max}}{\displaystyle \lambda_{m... ...\displaystyle 48}{\displaystyle \pi} \right)^4 \sigma^{12} \ ,$$ (III.E.13)

   
   
   dont le terme majorant $\sigma=h/\rho$ (cf (I.2.4)) est minimal dans le cas d'un tétraèdre régulier.

Comme pour le problème de Helmholtz bidimensionnel, la preuve est très longue. Elle suit néanmoins les mêmes étapes, plus techniques et plus générales encore:

a)

simplification du déterminant de D (par abus de langage, il s'agit en fait de la matrice des termes d'ordre 1 en h de la matrice D) de façon à séparer les termes dépendant de h des autres termes,

b)

découplage du déterminant en la géométrie et les fonctions de base,

c)

optimisation du déterminant en fonction du choix des directions de propagation des ondes planes scalaires dans ${\mathbb{R}}^3$,

d)

récapitulatif et fin du calcul du déterminant (prouve les points 1 et 2 du théorème 20)

e)

majoration du conditionnement (prouve le point 3 du théorème 20).