II.8.1.1 Construction de l'espace d'approximation V_h.

Nous effectuons les mêmes hypothèses sur le maillage 3-D que sur le maillage 2-D de Helmholtz (hypothèses H1, H2 et H3 p. ). Avec les notations de la section II.7.2.1, définissons les fonctions de base ${{\mathcal{Z}}}$ et leur numérotation k,l de l'espace $V_h \subset V$.

Définition 14 (Base de l'espace de discrétisation V_h.)   On considère la partition de $\Omega$ en K éléments $\Omega _k$ et pour chaque élément un nombre L constant de fonctions (<I>E^'_kl,<I>H^'_kl) linéairement indépendantes entre elles dans $({{\mathcal{H}}}(\Omega_k,\partial \Omega_k))^2$ et vérifiant

$$\left\{ \null\,\vcenter{\openup\jot \let\\ =\@ \ialign{\str... ...^{'}}_{kl}= 0 \mbox{ dans } \Omega_k \ . \cr \crcr}}\, \right.$$ (II.8.4)

On définit alors les LK fonctions de base ${{\mathcal{Z}}}_{kl} \in V$ de l'espace de discrétisation V_h par

$$\left\{ \null\,\vcenter{\openup\jot \let\\ =\@ \ialign{\str... ..._{k,l} \wedge \nu_{k}) \wedge \nu_{k}\ . \cr \crcr}}\, \right.$$ (II.8.5)

Vérifions que les LK fonctions ${{\mathcal{Z}}}_{kl}$ forment une base de V_h.

Lemme 15   Les fonctions $\{{{\mathcal{Z}}}_{kl}\}_{1 \leq l \leq L}$ définies par (II.8.5) sont linéairement indépendantes dans V si et seulement si les fonctions $\{{{\mathbf E}^{'}}_{kl}\}_{1 \leq l \leq L}$ définies par (II.8.4) sont linéairement indépendantes dans ${{\mathcal{H}}}(\Omega_k,\partial \Omega_k)$.

Notons toujours que, comme dans la méthode des éléments finis, la procédure de discrétisation (II.8.4) à l'aide de l'espace V_h construit par l'espace des fonctions ${{\mathcal{Z}}}_{kl}$ (II.8.5) a l'avantage de mener à un système où la matrice est creuse.