II.7.2.4 Définition des opérateurs formels.

Nous définissons pour Maxwell les opérateurs équivalents á ceux définis lors de l'étude du problème de Helmholtz. Nous supposons toujours les coefficients $\varepsilon$ et $\mu$ constants sur les éléments à frontière lipschitzienne de la partition de $\Omega$ effectuée section II.7.2.1.

Définition 9   D'après le théorème 14 nous pouvons définir E_<I>j,<I>m l'application de relèvement du problème de Maxwell par

$$%\label{equation.m3dformcnota.003} E_{{{\mathbf j}},{{\mathbf... ...{X}}}\mapsto ({{\mathbf E}},{{\mathbf H}}) \crcr}}\, \right.$$ (II.7.62)

qui à ${{\mathcal{X}}}$ solution de la formulation variationnelle II.7.84 fait correspondre (<I>E,<I>H) solution du problème (1 p. ).

Définition 10   D'après le corollaire 7 nous pouvons définir E^* l'opérateur de relèvement pour les fonctions tests de la formulation variationnelle ultra-faible:

$$E^{*} = \left\{ \null\,\vcenter{\openup1\jot \let\\ =\@ \i... ...E}^{'}},{{\mathbf H}^{'}})_{\vert\Omega_k} \crcr}}\, \right.$$ (II.7.63)

où (<I>E^'_k,<I>H^'_k) est l'unique solution dans la maille $\Omega _k$ de

$$\left \{ \null\,\vcenter{\openup\jot \let\\ =\@ \ialign{\s... ...mega_k = \bigcup_{j(k)}{ \Sigma_{kj} } \ . \crcr}}\, \right.$$

Notons que l'opérateur E^* est linéaire et que cette définition a un sens d'après le corollaire 7.

Notation 4   Nous noterons E_<I>j,<I>m¹ l'application E_<I>j,<I>m dont l'image est restreinte à son premier champ <I>E. En d'autres termes, avec les notations de la définition 9 nous avons

$$\null\,\vcenter{\openup\jot \let\\ =\@ \ialign{\strut\hfil$... ...{{\mathbf m}}}^2({{\mathcal{X}}}) = {{\mathbf H}}\cr \crcr}}\,$$

et de même pour l'opérateur linéaire E^*₁ avec les notations de la définition 10:

$$\null\,\vcenter{\openup\jot \let\\ =\@ \ialign{\strut\hfil$... ...cr & E^{*}_2({{\mathcal{Y}}}) = {{\mathbf H}^{'}}\cr \crcr}}\,$$

Définition 11   Soit ${{\mathcal{Y}}}=\sqrt{\varepsilon _{kj}}({{\mathbf E}^{'}} \wedge \nu ) + \sqrt{\mu_{kj}}(({{\mathbf H}^{'}} \wedge \nu ) \wedge \nu )$. On définit l'opérateur F par l'application qui transforme la trace sortante $\sqrt{\varepsilon _{kj}}({{\mathbf E}^{'}} \wedge \nu ) + \sqrt{\mu_{kj}}(({{\mathbf H}^{'}} \wedge \nu ) \wedge \nu )$ en la trace entrante $-\sqrt{\varepsilon _{kj}}({{\mathbf E}^{'}} \wedge \nu ) + \sqrt{\mu_{kj}}(({{\mathbf H}^{'}} \wedge \nu ) \wedge \nu )$:

$$\null\,\vcenter{\openup1\jot \let\\ =\@ \ialign{\strut\hfi... ...} \wedge \nu ) \wedge \nu ) \ . \crcr}}\, \right. \crcr}}\,$$ (II.7.64)

Remarque 35   On a $(F{{\mathcal{Y}}})_{\vert\Sigma_{k,j}}=-({{\mathcal{Y}}})_{\vert\Sigma_{k,j}}+2... ...kj}}(\left(E^{*}_1({{\mathcal{Y}}})\right)_{\vert\Sigma_{k,j}} \wedge \nu_{k,j}$ où $({{\mathcal{Y}}})_{\vert\Sigma_{k,j}} \in L^2_t(\Sigma_{kj})$ par hypothèse et $\left(E^{*}_1({{\mathcal{Y}}})\right)_{\vert\Omega_k} \in {{\mathcal{H}}}(\Omega_k,\partial \Omega_k)$ d'après le corollaire 7 p. . Ceci montre que $(F{{\mathcal{Y}}})_{\vert\Sigma_{k,j}} \in L^2_t(\Sigma_{kj})$ et donc que $F{{\mathcal{Y}}}\in V$.

Définition 12   Définissons l'opérateur $\Pi$ par

$$\null\,\vcenter{\openup1\jot \let\\ =\@ \ialign{\strut\hfi... ...l{Y}}}_{\vert _{\Gamma_k}} \ . \crcr}}\, \right. \crcr}}\,$$ (II.7.65)

La fonction complexe ${{\mathit Q}}$, définie sur $\Gamma$, vérifiant $\vert{{\mathit Q}}\vert \leq 1$, est donnée dans la condition de bord (II.6.2). Notons que $\vert\vert\Pi\vert\vert \le 1$ puisque l'on suppose $\vert{{\mathit Q}}\vert \leq 1$.

Définition 13   Notons F^* l'adjoint de F. Définissons l'opérateur A de V dans V par

$$% A = F^* \Pi \ .$$ (II.7.66)