III.D.1.2 Formules d'intégration sur un triangle: calcul de I₂.

Nous calculons I₂ l'intégrale de (III.D.1) sur le triangle [x₁,x₂,x₃] de surface S et de barycentre $\vec{G}$:

$$I_2 = \displaystyle \int _{[x_1,x_2,x_3]}{e^{i{{\mathbf k}}{{\mathbf X}}}} \ d \, {{\mathbf X}}\ .$$ (III.D.4)

On définit les trois paramètres $\alpha$, $\beta$ et $\gamma$ par $\alpha = {{\mathbf k}}\, \frac{\displaystyle (\vec{x}_3-\vec{x}_2)}{\displaystyle 2}$, $\beta = {{\mathbf k}}\, \frac{\displaystyle (\vec{x}_1-\vec{x}_2)}{\displaystyle 2}$ et $\gamma = {{\mathbf k}}\, \frac{\displaystyle (\vec{x}_3-\vec{x}_1)}{\displaystyle 2}$. Remarquons que l'on a $\gamma=\alpha-\beta$.

On suppose que les trois paramètres $\alpha$, $\beta$ et $\gamma$ sont non nuls et on effectue le changement de variable affine

$$x=x_1+\theta (x_2-x_1) + (1-\theta )\phi (x_3-x_1) \ ,$$

dans (III.D.4). On calcule alors I₂, avec $Z_i = e^{(i{{\mathbf k}}\, \vec{x}_i)}$:

$$\null\,\vcenter{\openup\jot \let\\ =\@ \ialign{\strut\hfil$... ...aystyle -2i\beta}}{\displaystyle 2i\gamma} } \ . \cr \crcr}}\,$$

Après simplification, on obtient

$$\null\,\vcenter{\openup\jot \let\\ =\@ \ialign{\strut\hfil$... ...yle \beta}}{\displaystyle 2i(\alpha -\beta)} \ . \cr \crcr}}\,$$

Finalement, l'intégrale I₂ apparaît comme la fonction de $\alpha$ et $\beta$ suivante

$$I_2(\alpha,\beta) = 2S e^{i{{\mathbf k}}\vec{G}} e^{ -\frac{... ...{\displaystyle \beta }}{\displaystyle 2i( \alpha-\beta )}) \ ,$$ (III.D.5)

fonction que l'on sait continue en $(\alpha,\beta) \in {\mathbb{C}}^2$.