II.9.1.2 Etude de l'image de la matrice M.

Montrons que l'on peut extraire de M un sous espace libre de dimension (N+1)(N+3) sous certaines conditions sur le choix des fonctions de base.

Pour cela, nous avons besoin d'utiliser le fait que les fonctions <I>F_l sont des ondes planes, c'est-à-dire des fonctions de la forme

$$% {{\mathbf F}}_{l} = \vec{{{\mathbf E}}^{l}} e^{j\omega V^{l} {{\mathbf X}}} \ (j^2=-1)$$ (II.9.34)

avec

$$V^{l}= \left[ \begin{array}{l} \cos{\theta_{l}}\cos{\phi_{l}... ...os{\phi_{l}} \\ -\cos{\theta_{l}} \ . \\ \end{array} \right]$$ (II.9.35)

dont le développement donne, pour n=q₁+q₂+q₃,

$${{\mathbf F}}_{l,i}^{q_1,q_2,q_3} = {{\mathbf E}}^{l}_i (j\o... ...{3} \frac{\displaystyle (V^{l}_s)^{q_s}}{\displaystyle {q_s}!}$$ (II.9.36)

Remarque 42   Dans un repère en coordonnées sphériques $(e_r,e_{\theta},e_{\phi})(\theta_{l},\phi_{l})$ orthonormé direct, on constate que

$$\left\{ \null\,\vcenter{\openup\jot \let\\ =\@ \ialign{\str... ...{\theta}-ie_{\phi})(\theta_{l},\phi_{l}) \cr \crcr}}\, \right.$$ (II.9.37)

et surtout que

$$V^{l} \wedge {{\mathbf E}}^{l} = -i {{\mathbf E}}^{l}$$ (II.9.38)