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II.9.1.2 Etude de l'image de la matrice M.

Montrons que l'on peut extraire de M un sous espace libre de dimension (N+1)(N+3) sous certaines conditions sur le choix des fonctions de base.

Pour cela, nous avons besoin d'utiliser le fait que les fonctions <I>Fl sont des ondes planes, c'est-à-dire des fonctions de la forme

(II.9.34) \begin{displaymath}%
{{\mathbf F}}_{l} = \vec{{{\mathbf E}}^{l}} e^{j\omega V^{l} {{\mathbf X}}} \ (j^2=-1)
\end{displaymath}

avec
(II.9.35) \begin{displaymath}
V^{l}= \left[ \begin{array}{l}
\cos{\theta_{l}}\cos{\phi_{l}...
...os{\phi_{l}} \\
-\cos{\theta_{l}} \ . \\
\end{array} \right]
\end{displaymath}

dont le développement donne, pour n=q1+q2+q3,
(II.9.36) \begin{displaymath}
{{\mathbf F}}_{l,i}^{q_1,q_2,q_3} = {{\mathbf E}}^{l}_i (j\o...
...{3} \frac{\displaystyle (V^{l}_s)^{q_s}}{\displaystyle {q_s}!}
\end{displaymath}

Remarque 42   Dans un repère en coordonnées sphériques $(e_r,e_{\theta},e_{\phi})(\theta_{l},\phi_{l})$ orthonormé direct, on constate que
(II.9.37) \begin{displaymath}
\left\{ \null\,\vcenter{\openup\jot \let\\ =\@
\ialign{\str...
...{\theta}-ie_{\phi})(\theta_{l},\phi_{l}) \cr
\crcr}}\, \right. \end{displaymath}

et surtout que
(II.9.38) \begin{displaymath}
V^{l} \wedge {{\mathbf E}}^{l} = -i {{\mathbf E}}^{l}
\end{displaymath}



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Cessenat Olivier 2007-04-21