L'ordre de convergence permet d'estimer asymptotiquement l'erreur en fonction de k et h. Nous sommes d'autre part en mesure de comparer les évolutions de la place mémoire et du temps de calcul entre la FEM et la formulation UWVF.
Prenons un exemple précis. Soit un carré de base unitaire maillé par une triangulation structurée. Le maillage est constitué de 2n2
éléments. Dans cette section, on définit le paramètre de raffinement du maillage h par h=1/n: c'est la longueur des côtés des triangles dans les deux directions d'axesI.31. Il y a (n+1)2 n
uds, 4n arêtes libres,
3n2-2n interfaces, donc, au total, 3n2+2n arêtes. La figure I.3.1 donne le maillage de
.
Le nombre de degrés de liberté dans la FEM par des éléments P1, c'est-à-dire par des fonctions centrées aux nuds, est exactement le nombre
de n
uds (n+1)2 si l'espace d'approximation est
, ou le nombre de n
uds internes (n-1)2 si l'espace d'approximation est
(lorsque
l'on traite d'un problème de Dirichlet). Considérant des éléments P2, on rajoute les fonctions dont les supports sont localisés sur les milieux
des arêtes. Ces fonctions sont au nombre de 3n2+2n pour
et 3n2-2n moins le nombre d'interfaces ayant un n
ud à la frontière (8n-6)
pour
, totalisant 4n2+4n+1 et 4n2-12n+7 respectivement.
Dans un contexte plus général, si l'on prend des éléments finis Pk sur la triangulation ci-dessus, le nombre de degrés de liberté de l'espace
d'approximation Vh de est (n+1)2 le nombre de n
uds, plus (k-1) fois le nombre d'arêtes (3n2+2n) plus le nombre d'éléments
du maillage (2n2) fois la dimension de Pk qui est
(cf [54]) moins 3k qui est le nombre de n
uds des arêtes d'un triangle.
On a donc
soit
dim(Vh)=n2k2+2nk+1. Comptons maintenant le nombre d'éléments non nuls de
la matrice du système linéaire en considérant la matrice ligne par ligne. Les éléments non nuls pour une ligne numéro q proviennent des
couplages entre la fonction numéro q de Vh et ses fonctions voisines, c'est-à-dire les fonctions ayant un support d'intersection non vide avec le
support de la q-ième fonction de base.
Pour des éléments P1, ceci est équivalent à compter le nombre de n
uds voisins, qui est de 6 pour un n
ud interne, ce qui est le cas pour la plupart des n
uds.
Pour des éléments P2, ceci revient, pour chaque triangle, à compter les n
uds voisins et les n
uds milieux de chaque segment jusqu'à trois points.
Si l'on considère une fonction à l'intérieur du domaine
(ce qui représente la plupart des fonctions), on dénombre 36 n
uds voisins. Pour P3, on a 90 fonctions à coupler.
Ceci augmente avec k comme
2(2k)2-2+(2k-2)(2k-1)=12k2-6k.
Le stockage est équivalent (il est en réalité légèrement inférieur à cause des
n
uds proches de la frontière) à
.
Pour des Eléments Finis P1, en considérant un grand nombre n, le stockage se comporte en 6n2.
Pour des EF P2, en 144n2, et enfin pour des EF P3 en 810n2.
La FEM a donc les caractéristiques suivantes
Dans la méthode UWVF, le nombre de degrés de liberté est le nombre de fonctions de base par élément (noté p) fois le nombre d'éléments
2n2 (si l'on en prend un nombre constant de fonctions de base par élément). Le stockage est donné par le couplage hermitien des fonctions de base sur
chaque élément n2p(p+1), les couplages sur les 3n2-2n interfaces du maillage, i.e. (3n2-2n)p2, et enfin par le couplage non hermitien des fonctions
de base aux arêtes libres, ce qui rajoute 2np(p-1) termes. Ceci totalise
unités de stockage.
Nous voyons section I.3.3.5 par (I.3.67) que l'erreur sur
se
comporte en
.
Les comparaisons asymptotiques de la taille mémoire et de l'ordre de convergence entre la méthode UWVF et la méthode FEM sont résumées
dans le tableau (I.3.2)I.31.