Ce travail traite de l'application d'une nouvelle formulation variationnelle ultra-faible aux problèmes d'ondes harmoniques. Cette formulation fut proposée pour la première fois par Bruno Després
dans [25]. La difficulté essentielle dans la résolution des problèmes d'ondes harmoniques réside dans le fait que la solution est oscillante, gouvernée par la longueur d'onde 
.
Les méthodes classiques actuelles de l'analyse numérique utilisées pour résoudre les problèmes d'ondes harmoniques sont nombreuses. Ces méthodes sont pour la plupart des
méthodes générales de résolution de problèmes de physique, nous ne citerons que leurs spécificités dans le cas des problèmes harmoniques de propagation d'ondes.
Les Méthodes des Eléments Finis (FEM) ([54], [17]), des Volumes Finis ([43]) et des Différences Finies ([60]) sont capables de résoudre un problème volumique,
en particulier dans des milieux non homogènes. Par exemple, en électromagnétisme, la méthode des éléments finis non conformes ou éléments finis de Nédelec
([48], [49], [47]) prend bien en compte les relations de continuité tangentielle. L'avantage numérique de ces méthodes est de mener à un système linéaire dont
la matrice est creuse. En revanche, la matrice du système linéaire de ces techniques n'est généralement pas hermitienne et la mise en 
uvre d'un algorithme linéaire itératif
convergent d'inversion du système linéaire discret est parfois difficile (selon la répartition des valeurs propres [51]). Par exemple, la méthode du gradient conjugué [18]
requiert souvent l'utilisation préalable d'un pré-conditionneur. Néanmoins, l'emploi de méthodes itératives est général et performant, citons notamment GMRes [56] et
Bi-CGStab [58]. Une étude comparative extensive a d'ailleurs été menée [22] à la fois sur Helmholtz et sur Maxwell. En revanche, l'inconvénient principal est d'exiger
le maillage d'un volume, ce qui est un lourd handicap de par l'augmentation exponentielle du stockage informatique en fonction de la dimension d'espace. Pour la résolution de problèmes dans un milieu
infini (comme c'est le cas dans les problèmes de scattering), ces méthodes exigent de tronquer le domaine de calcul. Cela consiste à établir des conditions aux limites absorbantes.
La mise en place de conditions aux limites d'ordre élevé performantes est coûteuse et n'a connu que des progrès récents ([5], [19]).
Les Equations Intégrales ([50], [20], [8]) sont bien adaptées aux problèmes de scattering sur des obstacles dans des milieux infinis puisqu'elles tiennent compte exactement
de la condition de radiation. Les équations intégrales sont largement utilisées dans le domaine numérique, ne citons que [8]. De plus elles permettent la réduction d'un
problème de dimension N à un problème de dimension N-1 puisque les calculs sont restreints à la frontière de l'obstacle. Néanmoins ceci a l'inconvénient de restreindre
le champ d'application de la méthode à des obstacles dont le comportement peut se modéliser par un opérateur surfacique, par exemple par une condition de Léontovich (ou impédance).
Ce type de conditions est utilisable dans un champ d'application limité ([30], [59]). Un inconvénient supplémentaire sur le plan numérique est que la discrétisation
conduit à une matrice pleine inversée par des méthodes directes. La mise en uvre d'algorithmes itératifs est assez difficile, mais il en existe, comme la méthode multi-pôles rapide.
Les avantages respectifs des méthodes d'éléments finis et d'équations intégrales peuvent être rassemblés en couplant ces deux méthodes ([35], [38] et [39]). La méthode couplée est affranchie des problèmes de conditions aux limites absorbantes approchées et peut traiter des objets revêtus d'une couche de diélectrique. Il faut néanmoins une condition aux limites de couplage adaptée aux deux méthodes. Dans ce cadre, les éléments finis mixtes hybrides, permettent d'écrire des conditions de raccord adéquates [12] et l'utilisation de fonctions tests discontinues [52]. Ce type d'éléments est aussi adapté aux méthodes de décomposition de domaine. Le système linéaire discret peut être résolu par un algorithme itératif, comme l'ont fait une équipe de l'Onera, [3] et [2]: leur système linéaire est creux.
La méthode des éléments finis estime l'erreur entre la solution exacte et la solution numérique approchée. Dans la méthode des éléments finis Pk, l'espace de discrétisation est constitué de polynômes, de degré k. L'interpolation à l'aide de polynômes permet de faire une estimation optimale de l'erreur. Pour un problème de Laplacien homogène en bidimensionnel, l'erreur est majorée par une fonction exponentielle de la racine carrée de k le degré de la méthode [17]. En pratique, augmenter le degré k est long à implémenter numériquement, mais ne pose pas de problème théorique.
Ces méthodes, appliquées à la résolution de problèmes d'ondes en fréquence, sont basées sur une formulation variationnelle dont l'opérateur se décompose en la somme d'un
opérateur coercif et d'une perturbation compacte de l'opérateur coercif [54]. Leur convergence est conditionnée par le rapport entre le pas de discrétisation h et la longueur d'onde
par des relations de la forme
Citons d'autres méthodes générales de résolution de problèmes elliptiques ou de discrétisation numérique qui ne sont pas forcément basées sur une formulation
variationnelle de la forme d'un opérateur coercif et d'une perturbation compacte.
La méthode d'approximations spectrales [6] est une méthode d'ordre élevé. Cette méthode est basée sur une formulation variationnelle et utilise des polynômes d'ordre N élevé pour l'espace test. L'approximation spectrale est optimale et le degré des polynômes joue le rôle de 1/h dans les éléments finis. La méthode spectrale basée sur des formules de collocation est utilisée sur le plan numérique avec de bons résultats pour les problèmes elliptiques. Cette méthode nous semble intéressante et éventuellement pourrait être utilisée dans le cadre de notre formulation variationnelle.
Les méthodes multi-grilles [34], dont le principe est connu depuis le début des années 60, sont des méthodes de résolution numérique effectivement utilisées depuis quelques années. Ce sont des méthodes itératives de résolution basées sur des discrétisations du même problème sur des grilles de tailles différentes. Cette technique est particulièrement efficace lorsque la grille la plus grossière est de taille très réduite, ce qui semble de prime abord particulièrement difficile à réaliser pour des problèmes d'ondes en fréquence.
Les méthodes de décomposition de domaine ([24],[45]) sont des méthodes récentes, développées simultanément à l'apparition des calculateurs à architecture parallèle. Ces méthodes, en pleine extension [32], [4], promettent d'utiliser au mieux les possibilités offertes par les calculateurs de prochaine génération [26]. Elles présentent l'avantage de ne pas être liées à une condition entre la longueur d'onde et la taille de la décomposition du domaine. De plus, parmi toutes les méthodes de résolution numérique, elles proposent des preuves de convergence de la résolution du système linéaire discret ([29], [13]). Nous verrons que la formulation ultra-faible est basée sur des idées de décomposition de domaine.
Pour un résumé pédagogique plus étendu de toutes ces méthodes, nous renvoyons à [36].
Les méthodes asymptotiques sont aujourd'hui les seules réellement capables de résoudre les problèmes d'ondes à haute fréquence ([10], [9]). Leur difficulté est de justifier, sur le plan théorique, les développements effectués ([40]): ces analyses reposent sur l'analyse micro-locale et sont extrêmement techniques. De plus, la validité de l'application des méthodes asymptotiques à moyenne fréquence est un problème ouvert.
Nous présentons ici une approche nouvelle de résolution des problèmes d'ondes harmoniques. Cette méthode doit son origine à des techniques de décomposition de domaine [24].
Notons que c'est la première fois que cette formulation est utilisée pour la résolution numérique d'équations aux dérivées partielles.
Les éléments fondamentaux de la nouvelle formulation sont:
L'idée de base de la formulation variationnelle ultra-faible est de réaliser une partition, ou maillage, du domaine de travail. Nous définissons un cadre fonctionnel de fonctions d'énergie finie sur les faces de la partition. Un nouveau problème est posé sur ces faces: la première caractéristique importante de la formulation est de mener à un problème dont les inconnues sont définies sur des interfaces. L'inconnue de la formulation ultra-faible est obtenue à partir des traces tangentielles de la solution au problème harmonique. Plus précisément, c'est une combinaison linéaire des traces tangentielles (en domaine tridimensionnel, des traces normales en bidimensionnel) et de l'application de l'opérateur de Calderon à ces traces. Il est ensuite possible de remonter à la solution du problème harmonique sur ces interfaces. L'utilisation de fonctions de base solutions du problème dual permet d'obtenir un ordre de convergence élevé; nous ne montrons pas ce résultat de façon générale, mais il nous semble intuitif: les fonctions de base contiennent intrinsèquement l'information concernant la fréquence, au contraire par exemple d'une méthode d'éléments finis où la fréquence n'apparaît pas dans les fonctions de base. Le problème résultant est un système linéaire injectif qui se décompose en la somme de l'opérateur identité (du cadre fonctionnel de la formulation) et d'un opérateur de norme inférieure à l'unité.
Cette formulation est générale, valable pour toute équation linéaire dont le symbole principal est elliptique (cf [27]). De plus, c'est toujours une formulation exacte du problème continu, même si elle est liée à un maillage du domaine. La discrétisation du problème apparaît comme une deuxième étape.
Une caractéristique spécifique aux problèmes d'ondes harmoniques est l'utilisation de fonctions de base issues d'ondes planes ce qui permet un calcul analytique du système
linéaire discret. Ceci présente l'intérêt essentiel de permettre l'introduction de connaissances sur la physique du problème dans l'espace des fonctions tests.
Ainsi, l'utilisation d'informations sur le comportement asymptotique de la solution est possible [9]. Notons qu'une méthode de discrétisation mettant en uvre des
ondes planes est aussi utilisée pour la discrétisation haute fréquence des équations intégrales [37].
L'utilisation d'un maillage rend la mise en uvre pratique de notre méthode semblable à celle de la méthode des Eléments Finis, mais sans obligation de respecter
une condition entre la longueur d'onde et la taille du maillage.
Cette étude est divisée en deux parties: le problème de Helmholtz en bidimensionnel, puis le problème de Maxwell tridimensionnel dans un milieu diélectrique isotrope.