II.7.2.6 Propriétés des opérateurs.

L'opérateur de la formulation variationnelle classique se décompose en la somme d'un opérateur coercif et d'une perturbation compacte. Nous montrons ici que l'opérateur I-A de notre formulation (II.7.100) est injectif et que A est de norme inférieure à 1 (propositions 10 et 11). Cette propriété mathématique constitue un point fort essentiel de la formulation ultra-faible.

Lemme 14   L'opérateur F est de norme inférieure à 1 et ||F^*||=||F||.

Remarque 36   Dans le cas de matériaux non dispersifs, (le vide par exemple), on a $\Im(\varepsilon ) = 0$ et $\Im(\mu) = 0$. Ceci entraîne que F est une isométrie comme pour le problème de Helmholtz sans coefficient.

Proposition 10   L'opérateur (I-A) est injectif.

Proposition 11   La norme induite de A vérifie $\vert\vert A\vert\vert \leq 1$.