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Part : Introduction.
Table des matières
Index
1 Le problème de Helmholtz bidimensionnel.
Sous-sections
Présentation de la première partie.
I.1 Présentation de la Formulation ultra-faible.
I.1.1 Rappels sur le problème modèle dans le vide.
I.1.1.1 Problématique.
I.1.1.2 Résultats classiques.
I.1.2 Etude de la formulation variationnelle.
I.1.2.1 La formulation variationnelle.
I.1.2.2 Propriétés de la formulation.
I.2 Discrétisation du problème.
I.2.1 Approximation de Galerkin.
I.2.1.1 Existence et unicité de la solution approchée.
I.2.1.2 Remarque sur les notations
V
et
V
h
.
I.2.1.3 Construction de Galerkin de l'espace
V
h
.
I.2.1.4 Construction des opérateurs discrets.
I.2.1.5 Lien avec le problème initial: construction de
u
h
à partir de
x
h
.
I.2.2 Mise en
uvre d'un espace d'approximation particulier.
I.2.2.1 Choix de
V
h
.
I.2.2.2 Construction du système linéaire.
I.2.3 Solution du système matriciel.
I.2.3.1 Inversibilité de
D
, propriété de
M
=
D
-1
C
.
I.2.3.2 Construction d'un algorithme itératif.
I.3 Analyse de la méthode.
I.3.1 Notion d'ordre de convergence et rappels sur la méthode des éléments finis.
I.3.2 Etude numérique de l'ordre de convergence.
I.3.2.1 Calcul numérique de l'erreur.
I.3.2.2 Une simulation informatique de calcul d'erreur.
I.3.2.3 Calculs d'ordre dans le cas homogène:
f
=0.
I.3.2.4 Calculs d'ordre dans le cas non homogène:
.
I.3.2.5 Bilan: lois approchées de convergence numérique.
I.3.2.6 Conclusion de l'étude numérique de l'ordre.
I.3.3 Etude théorique de l'ordre de convergence.
I.3.3.1 Estimation du résidu.
I.3.3.2 Une estimation au bord en norme de Sobolev négatif.
I.3.3.3 Estimations d'énergie sur la frontière.
I.3.3.3.1 Estimation sur la frontière de
x
-
x
h
.
I.3.3.3.2 Estimation sur la frontière de
u
-
u
h
.
I.3.3.4 Etude de l'erreur d'interpolation.
I.3.3.5 Bilan: majorations de l'ordre de convergence.
I.3.4 Conditionnement de la matrice de produit scalaire.
I.3.4.1 Majoration théorique du conditionnement.
I.3.4.2 Evolution numérique du conditionnement.
I.3.4.3 Conclusion sur le problème de l'inversion de la matrice
D
.
I.4 Résultats numériques.
I.4.1 Observation des valeurs des champs.
I.4.1.1 Cas d'une source d'énergie ponctuelle.
I.4.1.2 Deux problèmes de diffraction, Dirichlet et Neumann homogènes.
I.4.2 Application à des problèmes de
scattering
.
I.4.2.1 Présentation des tests.
I.4.2.2 Notion de Section Efficace Radar.
I.4.2.3 Diffraction sur un ballon de football.
I.4.2.4 Diffraction sur un profil NACA.
I.4.3 Vitesse de convergence de l'algorithme itératif.
I.5 Extension au cas des coefficients variables.
I.5.1 Présentation du problème et formulation.
I.5.1.1 Cadre du problème.
I.5.1.2 Nouvelle formulation variationnelle.
I.5.1.3 Propriétés de la formulation.
I.5.2 Approximation de Galerkin.
I.5.2.1 Construction des opérateurs discrétisés.
I.5.2.2 Définition et construction de
u
h
à partir de
x
h
.
I.5.2.3 Choix de l'espace d'approximation et résolution du système linéaire.
I.5.3 Conclusion de l'étude du problème à coefficients variables.
Conclusions et perspectives tirées de l'étude du problème de Helmholtz.
Cessenat Olivier 2007-04-21
uvre d'un espace d'approximation particulier.
.