II.9 Analyse de la méthode sur le problème de Maxwell tridimensionnel.

Dans l'étude du problème de Helmholtz nous avons d'abord montré des simulations numériques qui présentaient des lois d'ordre de convergence. Nous avons ensuite vérifié certaines de ces lois à l'aide d'une majoration fondamentale, la majoration de l'erreur d'interpolation (I-P_h)X. Nous avons réussi à majorer des normes d'erreur sur le bord $\Gamma$ du domaine par l'erreur d'interpolation dans l'espace des fonctions d'énergie finie pour le cas où il n'y a pas de source d'énergie volumique dans le domaine $\Omega$. Par un raisonnement par dualité nous avons aussi effectué une majoration d'erreur sur le bord dans un espace H^-s avec s>1/2. Nous avons constaté que nos majorations n'étaient pas optimales, et en outre les simulations numériques montraient qu'il était certainement possible de faire des estimations volumiques d'énergie.

Le but de ce chapitre n'est pas de recommencer exactement la même analyse. En effet, d'après l'étude du problème de Helmholtz et d'après les similitudes avec le problème de Maxwell, il nous semble clair que des lois semblables existent pour le problème de Maxwell. Nous n'effectuons donc pas de simulations numériques pour vérifier ces lois. Tous les points théoriques étudiés dans la première partie peuvent être reconduits, avec quelques variantes, pour le problème de Maxwell.

Par exemple, le résultat d'estimation du résidu pour le problème de Helmholtz (section I.3.3.1) est toujours valable, puisqu'aucun des arguments cités dans la preuve n'est spécifique au problème de Helmholtz, mais général à tout problème qui s'écrit sous la forme variationnelle ultra-faible.

Lemme 20   Soit ${{\mathcal{X}}}\in V$ la solution de (II.7.100) et ${{\mathcal{X}}}_h \in V_h$ la solution de (II.8.1). Soit P_h le projecteur orthogonal sur V_h. Nous avons:

$$(I-A)({{\mathcal{X}}}-{{\mathcal{X}}}_h) \in V_h^{\bot}$$ (II.9.1)

$$\mbox{\fbox{$\vert\vert(I-A)({{\mathcal{X}}}-{{\mathcal{X}}}... ...rt\vert \leq 2\vert\vert(I-P_h){{\mathcal{X}}}\vert\vert $} .}$$ (II.9.2)

En revanche, l'estimation de l'erreur d'interpolation est beaucoup plus compliquée. C'est pourquoi, l'analyse de la méthode est menée selon le plan suivant qui met en avant

• la difficulté essentielle nouvelle: l'étude de l'erreur d'interpolation. L'analyse diffère radicalement de l'analyse effectuée dans la première partie. Cette étude est menée dans la première section (II.9.1) de ce chapitre.
• Comme pour le problème de Helmholtz, nous majorons l'erreur sur le bord dans le cas où il n'y a pas de source volumique pour le problème donné. Nous en déduisons les lois d'ordre de convergence qui sont proposées dans la section (II.9.2).
• Enfin, nous étudions, section (II.9.3), le conditionnement du problème avec une analyse non triviale proche de celle effectuée en première partie.