III.B.1.1 Introduction, notations.

Nous considérons les contributions d'une interface $\Sigma_{k,j}$ ou d'une face de bord $\Sigma_{k,j=k}$ sans effectuer l'éventuelle sommation sur toutes les faces $\Sigma_{k,j}$ concernées (par exemple dans le calcul des termes de la matrice D ou du second membre). Nous laissons au lecteur le soin de calculer les contributions d'une face quadrangulaire et d'effectuer les sommations adéquates. Nous considérons les quantités qui dépendent de la géométrie de l'interface $\Sigma_{k,j}$, des fonctions de base et du milieu présent de part et d'autre de l'interface.

• Les trois sommets de l'interface $\Sigma_{k,j}$ sont notés
  

  $$% ({{\mathbf X}}_{k,j}^1,{{\mathbf X}}_{k,j}^2,{{\mathbf X}}_{k,j}^3) \ .$$ (III.B.1)

  
  
  Pour faciliter un jeu d'écriture, on utilisera <I>X_k,j⁴ désignant <I>X_k,j¹, et ainsi de suite.
• Nous notons S_k,j la surface de la face plane $\Sigma_{k,j}$. Ce terme est calculé par
  

  $$% S_{k,j} = \frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 2}({{\mathbf X}}_{k,j}^1,{{\mathbf X}}_{k,j}^2,{{\mathbf X}}_{k,j}^3)_{mixte}$$ (III.B.2)

  
  

• Pour $1\le l,m \le p$, indices des directions de propagation dans $\Omega _k$ ou $\Omega_j$, on note
  

  $$\mathbf{v}_{k,j}^{l,m} = \frac{\displaystyle \omega}{\displa... ...\mu}_{j}}V_{j,m} - \sqrt{\varepsilon _{k} \mu_{k}}V_{k,l}) \ .$$ (III.B.3)

  
  

• Sur les trois arêtes définissant $\Sigma_{kj}$ et pour les directions de propagation définissant v_k,j^l,m (III.B.3), on pose
  

  $$h_{k,j,l,m}^n = \mathbf{v}_{k,j}^{l,m} \, {\mathbf{.}} \, ({{\mathbf X}}_{k,j}^{n+1}-{{\mathbf X}}_{k,j}^{n})$$ (III.B.4)

  
  
  et
  

  $$Z_{k,j,l,m}^n = e^{2i \mathbf{v}_{k,j}^{l,m} \, {\mathbf{.}} \, {{\mathbf X}}_{k,j}^{n} } \ .$$ (III.B.5)

  
  

• Nous notons f_k,j^l,m le terme intégral sur $\Sigma_{k,j}$ de l'onde plane définie par son vecteur d'onde 2v_k,j^l,m:
  

  $$f_{k,j}^{l,m} = \int_{\Sigma_{k,j}} e^{2i \mathbf{v}_{k,j}^{l,m} \, {\mathbf{.}} \, {{\mathbf X}}} \,d\,{{\mathbf X}}\ .$$ (III.B.6)

  
  
  Nous noterons abusivement f_k,k^l,m l'intégrale sur $\Sigma_{k,j}$ (et non sur $\Sigma_{k,k}$)
  

  $$f_{k,k}^{l,m} = \int_{\Sigma_{k,j}} e^{2i \mathbf{v}_{k,k}^{l,m} \, {\mathbf{.}} \, {{\mathbf X}}} \,d\,{{\mathbf X}}\ .$$ (III.B.7)

  
  
  Cette intégrale dépend de la géométrie de $\Omega_j$ mais ne dépend que des fonctions de base de $\Omega _k$: en toute rigueur, il faudrait introduire un troisième indice et noter f_k,k,j^l,m.

Nous calculons annexe III.D.1.2 l'intégrale de e^i<I>k<I>X sur une face plane triangulaire. D'après la relation (III.D.5) pour <I>k= 2iv_k,j^l,m , on calcule analytiquement f_k,j^l,m par

$$f_{k,j}^{l,m} = 2S_{k,j} Z_{k,j,l,m}^{n+1} \frac{\displaysty... ...}^{n}}}{\displaystyle 2i(h_{k,j,l,m}^{n+1} + h_{k,j,l,m}^{n})}$$ (III.B.8)

indépendamment de n, l'indice des sommets <I>X_k,jⁿ de $\Sigma_{k,j}$. A l'aide du barycentre $\vec{G}$ de l'interface $\Sigma_{k,j}$, on a aussi

$$f_{k,j}^{l,m} = 2S_{k,j} e^{2i\mathbf{v}_{k,j}^{l,m}\vec{G}}... ...}^{n}}}{\displaystyle 2i(h_{k,j,l,m}^{n+1} + h_{k,j,l,m}^{n})}$$ (III.B.9)

ou, à l'aide de v_k,j^l,m (III.B.3),

$$f_{k,j}^{l,m} = 2S_{k,j} \frac{\displaystyle e^{ i \mathbf{v... ...,j}^{l,m}({{\mathbf X}}_{k,j}^{n+2}-{{\mathbf X}}_{k,j}^{n}))}$$ (III.B.10)

L'implémentation informatique de cette formule et son implémentation sur une machine à architecture vectorielle sont présentées dans les annexes III.D.2.2 et III.D.3.2.

Les formules donnant l'intégrale f_k,k^l,m s'obtiennent des formules ci-dessus en remplaçant j par k partout où apparaissent les fonctions de base, mais pas dans les termes intrinsèques à la géométrie.

Enfin, rappelons quelques définitions ou notations qui servent dans ce chapitre.

• Les L=2p fonctions de base ${{\mathcal{Z}}}_{kl}$ de l'élément $\Omega _k$ sont définies, pour $1\le l \le p$, par
  

  $$\left\{ \null\,\vcenter{\openup\jot \let\\ =\@ \ialign{\str... ..._{k,l}} \, . \, {{{\mathbf X}}}\right) } \cr \crcr}}\, \right.$$ (III.B.11)

  
  
  avec
  

  $$\left\{ \null\,\vcenter{\openup\jot \let\\ =\@ \ialign{\str... ...wedge \nu_k \right) \wedge \nu_k \right) \cr \crcr}}\, \right.$$ (III.B.12)

  
  
  où les fonctions <I>F_k,l et <I>G_k,l sont de la forme
  

  $$\left\{ \null\,\vcenter{\openup\jot \let\\ =\@ \ialign{\str... ...E}}^{0}_{k,l} \wedge V_{k,l} \right) \ . \cr \crcr}}\, \right.$$ (III.B.13)

  
  

• Remarquons que les fonctions de base ${{\mathcal{Z}}}_{kl}$ pour $1\le l \le p$ sont issues des fonctions <I>F_k,l. De même les fonctions de base ${{\mathcal{Z}}}_{kl}$ pour $p+1\le l \le 2p$ sont issues des fonctions <I>G_k,l-p. C'est pourquoi nous emploierons le terme de ``fonction de type <I>F'' (resp. ``type <I>G'') fonction que nous noterons ${{\mathcal{Z}}}^{{{\mathbf F}}}_{kl}$ (resp. ${{\mathcal{Z}}}^{{{\mathbf G}}}_{kl}$). Les fonctions ${{\mathcal{Z}}}^{{{\mathbf F}}}_{kl}$ et ${{\mathcal{Z}}}^{{{\mathbf G}}}_{kl}$ sont définies par
  

  $$% \null\,\vcenter{\openup\jot \let\\ =\@ \ialign{\strut\hfil... ...\mathbf G}}}_{k,l-p} = {{\mathcal{Z}}}_{k,l} \ . \cr \crcr}}\,$$ (III.B.14)

  
  

• Le vecteur <I>E⁰_k,l est réel unitaire et orthogonal à V_k,l lui aussi réel unitaire.
• La fonction réelle $\varepsilon _{kj}$ (resp. $\mu_{kj}$) est définie comme la moyenne géométrique de la valeur absolue de la permittivité $\varepsilon$ (resp. perméabilité $\mu$) sur $\Omega _k$ et sur $\Omega_j$:
  

  $$% \null\,\vcenter{\openup\jot \let\\ =\@ \ialign{\strut\hfil... ...}= \sqrt{\vert\mu_{k}\vert\vert\mu_{j}\vert} \ . \cr \crcr}}\,$$ (III.B.15)

  
  

Nous utiliserons aussi, pour $1\le l \le p$, la notation

$$\left\{ \null\,\vcenter{\openup\jot \let\\ =\@ \ialign{\str... ...e \nu_k \right) \wedge \nu_k \right) \ . \cr \crcr}}\, \right.$$ (III.B.16)

Remarque 48   D'après (III.B.13), on a

$${{\mathbf G}}_{k,l} = \overline{{{\mathbf F}}_{k,l}} \ ,$$

d'où

$$\null\,\vcenter{\openup\jot \let\\ =\@ \ialign{\strut\hfil$... ... \wedge \nu_k \right) \wedge \nu_k } \right) \ . \cr \crcr}}\,$$

Si $\varepsilon$ et $\mu$ sont réels sur $\Omega _k$ alors

$$\left\{ \null\,\vcenter{\openup\jot \let\\ =\@ \ialign{\str... ...\overline{{{\mathcal{Z}}}_{k,l}^{1}} \ . \cr \crcr}}\, \right.$$ (III.B.17)