II.10.3.2 Etude exhaustive sur un cas de propagation dans le vide.

Il est faux de croire que le nombre d'itérations nécessaires pour inverser le système linéaire dans le code ${\mathcal L}ior$ est systématiquement inférieur pour un maillage hexaédrique que pour un maillage tétraédrique (à nombre égal d'éléments).

Après un grand nombre de simulations (environ 80) nous avons observé que ceci est vrai lorsque la fréquence étudiée est trop basse par rapport à la discrétisation du problème, ce qui correspond à une sur-discrétisation. Cette situation fait apparaître des problèmes numériques de conditionnement comme pour toute méthode numérique de discrétisation qui tend à se rapprocher de l'opérateur continu.

Dans le cas général le choix des hexaèdres n'apporte rien par rapport au choix des tétraèdres comme le montrent les quelques exemples de la figure II.10.28 p. où l'on représente l'évolution de la précision de la norme L² relative $\vert{{\mathcal{X}}}-{{\mathcal{X}}}_h\vert _{L^2(\Gamma)}$ en fonction du nombre d'itérations. Ces calculs sont effectués à différentes fréquences que nous n'indiquons pas; ces courbes ne sont là qu'à titre indicatif.

En particulier, dans les situations réalistes où le problème n'est pas sur-discrétisé, nous constatons qu'à nombre égal d'éléments, les maillages en hexaèdres, par rapport aux maillages en tétraèdres,

1. occupent une place mémoire presque 50 % supérieure,
2. demandent autant d'itérations pour la résolution itérative du système linéaire,
3. prennent environ 2,5 fois plus de temps pour l'assemblage des termes du système linéaire quand leurs faces sont planes, 3 fois quand ce n'est pas le cas,
4. demandent un temps total de calcul majoré d'au moins 50 %.

Figure II.10.28: Comparaison du nombre d'itérations et de la précision selon le type de maillage, les directions sont aléatoires, fréquences variables.